日历查询的算法 如何计算某一天是星期几(日历查询的算法怎么写)

如何计算某一天是星期几? —— 蔡勒（Zeller）公式 历史上的某一天是星期几？未来的某一天是星期几？关于这个问题，有很多计算公式（两个通用计算公式和一些分段计算公式），其中最著名的是蔡勒（Zeller）公式。即w=y+[y/4]+[c/4]-2c+[(m+1)/]+d-1 公式中的符号含义如下，w：星期；c：世纪-1；y：年（两位数）；m：月（m大于等于3，小于等于，即在蔡勒公式中，某年的1、2月要看作上一年的、月来计算，比如年1月1日要看作年的月1日来计算）；d：日；[ ]代表取整，即只要整数部分。(C是世纪数减一，y是年份后两位，M是月份，d是日数。1月和2月要按上一年的月和 月来算，这时C和y均按上一年取值。) 算出来的W除以7，余数是几就是星期几。如果余数是0，则为星期日。 以年月1日（周年国庆）为例，用蔡勒（Zeller）公式进行计算，过程如下： 蔡勒（Zeller）公式：w=y+[y/4]+[c/4]-2c+[(m+1)/]+d-1 =+[/4]+[/4]-2×+[× (+1)/]+1-1 =+[.]+5-+[.6] =++5-+ = (除以7余5) 即年月1日（周年国庆）是星期5。 你的生日（出生时、今年、明年）是星期几？不妨试一试。 不过，以上公式只适合于年月日之后的情形（当时的罗马教皇将恺撒大帝制订的儒略历修改成格里历，即今天使用的公历）。 过程的推导:(对推理不感兴趣的可略过不看) 星期制度是一种有古老传统的制度。据说因为《圣经·创世纪》中规定上帝用了六天时间创世纪，第七天休息，所以人们也就以七天为一个周期来安排自己的工作和生 活，而星期日是休息日。从实际的角度来讲，以七天为一个周期，长短也比较合适。所 以尽管中国的传统工作周期是十天（比如王勃《滕王阁序》中说的“十旬休暇”，即是 指官员的工作每十日为一个周期，第十日休假），但后来也采取了西方的星期制度。 在日常生活中，我们常常遇到要知道某一天是星期几的问题。有时候，我们还想知道历史上某一天是星期几。通常，解决这个方法的有效办法是看日历，但是我们总不会 随时随身带着日历，更不可能随时随身带着几千年的万年历。假如是想在计算机编程中 计算某一天是星期几，预先把一本万年历存进去就更不现实了。这时候是不是有办法通 过什么公式，从年月日推出这一天是星期几呢？ 答案是肯定的。其实我们也常常在这样做。我们先举一个简单的例子。比如，知道了年5月1日是星期六，那么年5月日“世界无烟日”是星期几就不难推算出来。我们可以掰着指头从1日数到日，同时数星期，最后可以数出5月日是星期一。 其实运用数学计算，可以不用掰指头。我们知道星期是七天一轮回的，所以5月1日是星期六，七天之后的5月8日也是星期六。在日期上，8-1=7，正是7的倍数。同样，5月日、5月日和5月日也是星期六，它们的日期和5月1日的差值分别是、和，也都是7的倍数。那么5月日呢？-1=，虽然不是7的倍数，但是除以7，余数为2， 这就是说，5月日的星期，是在5月1日的星期之后两天。星期六之后两天正是星期一。 这个简单的计算告诉我们计算星期的一个基本思路：首先，先要知道在想算的日子之前的一个确定的日子是星期几，拿这一天做为推算的标准，也就是相当于一个计算的“原点”。其次，知道想算的日子和这个确定的日子之间相差多少天，用7除这个日期的差值，余数就表示想算的日子的星期在确定的日子的星期之后多少天。如果余数是0，就表示这两天的星期相同。显然，如果把这个作为“原点”的日子选为星期日，那 么余数正好就等于星期几，这样计算就更方便了。 但是直接计算两天之间的天数，还是不免繁琐。比如年7月日和年5月1日之间相隔天，就不是一下子能算出来的。它包括三段时间：一，年7月日以后这一年的剩余天数；二，-这二十一个整年的全部天数；三，从年元旦到5月1日经过的天数。第二段比较好算，它等于*+5=天，之所以要加5，是因为这段时间内有5个闰年。第一段和第三段就比较麻烦了，比如第三段，需要把5月之前的四个月的天数累加起来，再加上日期值，即++++1=天。同理，第 一段需要把7月之后的五个月的天数累加起来，再加上7月剩下的天数，一共是天。 所以总共的相隔天数是++=天。 仔细想想，如果把“原点”日子的日期选为月日，那么第一段时间也就是一个整年，这样一来，第一段时间和第二段时间就可以合并计算，整年的总数正好相当于两个日子的年份差值减一。如果进一步把“原点”日子选为公元前1年月日（或者天文学家所使用的公元0年月日），这个整年的总数就正好是想算的日子的年份减一。这样简化之后，就只须计算两段时间：一，这么多整年的总天数；二，想算的日子是这一年的第几天。巧的是，按照公历的年月设置，这样反推回去，公元前1年月日正好是星期日，也就是说，这样算出来的总天数除以7的余数正好是星期几。那么现在的问题就 只有一个：这么多整年里面有多少闰年。这就需要了解公历的置闰规则了。 我们知道，公历的平年是天，闰年是天。置闰的方法是能被4整除的年份在2月加一天，但能被整除的不闰，能被整除的又闰。因此，像、、年都是闰年，而、、、年都是平年。公元前1年，按公历也是闰年。 因此，对于从公元前1年（或公元0年）月日到某一日子的年份Y之间的所有整年中的闰年数，就等于 [(Y-1)/4] - [(Y-1)/] + [(Y-1)/]， [...]表示只取整数部分。第一项表示需要加上被4整除的年份数，第二项表示需要去掉被整除的年份数，第三项表示需要再加上被整除的年份数。之所以Y要减一，这 样，我们就得到了第一个计算某一天是星期几的公式： W = (Y-1)* + [(Y-1)/4] - [(Y-1)/] + [(Y-1)/] + D． (1) 其中D是这个日子在这一年中的累积天数。算出来的W就是公元前1年（或公元0年）月日到这一天之间的间隔日数。把W用7除，余数是几，这一天就是星期几。比如我们来算年5月1日： W = (-1)* + [(-1)/4] - [(-1)/] + [(-1)/] +(++++1)= ， / 7 = ……6，余数为六，说明这一天是星期六。这和事实是符合的。 上面的公式(1)虽然很准确，但是计算出来的数字太大了，使用起来很不方便。仔细想想，其实这个间隔天数W的用数仅仅是为了得到它除以7之后的余数。这启发我们是不是可以简化这个W值，只要找一个和它余数相同的较小的数来代替，用数论上的术语来说，就是找一个和它同余的较小的正整数，照样可以计算出准确的星期数。 显然，W这么大的原因是因为公式中的第一项(Y-1)*太大了。其实， (Y-1)* = (Y-1) * (+1) = (Y-1) * (7*+1) = * (Y-1) * 7 + (Y-1)， 这个结果的第一项是一个7的倍数，除以7余数为0，因此(Y-1)*除以7的余数其实就等于Y-1除以7的余数。这个关系可以表示为： (Y-1)* ≡ Y-1 (mod 7)． 其中，≡是数论中表示同余的符号，mod 7的意思是指在用7作模数（也就是除数）的情况下≡号两边的数是同余的。因此，完全可以用(Y-1)代替(Y-1)*，这样我们就得到了那个著名的、也是最常见到的计算星期几的公式： W = (Y-1) + [(Y-1)/4] - [(Y-1)/] + [(Y-1)/] + D． (2) 这个公式虽然好用多了，但还不是最好用的公式，因为累积天数D的计算也比较麻 烦。是不是可以用月份数和日期直接计算呢？答案也是肯定的。我们不妨来观察一下各 个月的日数，列表如下： 月 份：1月 2月 3月 4月 5月 6月 7月 8月 9月 月 月 月 -------------------------------------------------------------------------- 天 数： () 如果把这个天数都减去（=4*7），不影响W除以7的余数值。这样我们就得到另一张 表： 月 份：1月 2月 3月 4月 5月 6月 7月 8月 9月 月 月 月 ------------------------------------------------------------------------ 剩余天数： 3 0(1) 3 2 3 2 3 3 2 3 2 3 平年累积： 3 3 6 8 闰年累积： 3 4 7 9 仔细观察的话，我们会发现除去1月和2月，3月到7月这五个月的剩余天数值是3,2,3,2,3；8月到月这五个月的天数值也是3,2,3,2,3，正好是一个重复。相应的累积天数中， 后一月的累积天数和前一月的累积天数之差减去就是这个重复。正是因为这种规律的 存在，平年和闰年的累积天数可以用数学公式很方便地表达： ? d； （当M＝1） D = { + d； （当M＝2） (3) ? [ * (M+1) / 5 ] - 7 + (M-1) * + d + i． （当M≥3） 其中[...]仍表示只取整数部分；M和d分别是想算的日子的月份和日数；平年i=0，闰年 i=1。对于M≥3的表达式需要说明一下：[*(M+1)/5]-7算出来的就是上面第二个表中的 平年累积值，再加上(M-1)*就是想算的日子的月份之前的所有月份的总天数。这是一 个很巧妙的办法，利用取整运算来实现3,2,3,2,3的循环。比如，对年5月1日，有： D = [ * (5+1) / 5 ] - 7 + (5-1) * + 1 + 1 = ， 这正是5月1日在年的累积天数。 假如，我们再变通一下，把1月和2月当成是上一年的“月”和“月”，不仅仍 然符合这个公式，而且因为这样一来，闰日成了上一“年”（一共有个月）的最后一 天，成了d的一部分，于是平闰年的影响也去掉了，公式就简化成： D = [ * (M+1) / 5 ] - 7 + (M-1) * + d． （3≤M≤） (4) 上面计算星期几的公式，也就可以进一步简化成： W = (Y-1) + [(Y-1)/4] - [(Y-1)/] + [(Y-1)/] + [ * (M+1) / 5 ] - 7 + (M-1) * + d． 因为其中的-7和(M-1)*两项都可以被7整除，所以去掉这两项，W除以7的余数不变， 公式变成： W = (Y-1) + [(Y-1)/4] - [(Y-1)/] + [(Y-1)/] + [ * (M+1) / 5 ] + d．(5) 当然，要注意1月和2月已经被当成了上一年的月和月，因此在计算1月和2月的日子 的星期时，除了M要按或算，年份Y也要减一。比如，年1月1日是星期四，用这个公式来算，有： W = (-1) + [(-1)/4] - [(-1)/] + [(-1)/] + [*(+1)/5] + 1 = + - + 5 + + 1 = ； / 7 = ……4．这和实际是一致的。 公式(5)已经是从年、月、日来算星期几的公式了，但它还不是最简练的，对于年份的处理还有改进的方法。我们先来用这个公式算出每个世纪第一年3月1日的星期，列表如下： 年份： 1(,,…,) (,,…,) -------------------------------------------------------------------- 星期： 4 2 ============================================== 年份：(,,…,) (,,…,) -------------------------------------------------------------------- 星期： 0 5 可以看出，每隔四个世纪，这个星期就重复一次。假如我们把(,,…,)年3月1日的星期数看成是-2（按数论中对余数的定义，-2和5除以7的余数相同，所以可以做这样的变换），那么这个重复序列正好就是一个4,2,0,-2的等差数列。据此，我们 可以得到下面的计算每个世纪第一年3月1日的星期的公式： W = (4 - C mod 4) * 2 - 4． (6) 式中，C是该世纪的世纪数减一，mod表示取模运算，即求余数。比如，对于年3月1日，C=，则： W = (4 - mod 4) * 2 - 4 = 8 - 4 = 4． 把公式(6)代入公式(5)，经过变换，可得： (Y-1) + [(Y-1)/4] - [(Y-1)/] + [(Y-1)/] ≡ (4 - C mod 4) * 2 - 1 (mod 7)． (7) 因此，公式(5)中的(Y-1) + [(Y-1)/4] - [(Y-1)/] + [(Y-1)/]这四项，在计算每个世纪第一年的日期的星期时，可以用(4 - C mod 4) * 2 - 1来代替。这个公式写出来就是： W = (4 - C mod 4) * 2 - 1 + [ * (M+1) / 5] + d． (8) 有了计算每个世纪第一年的日期星期的公式，计算这个世纪其他各年的日期星期的公式就很容易得到了。因为在一个世纪里，末尾为的年份是最后一年，因此就用不着再考虑“一百年不闰，四百年又闰”的规则，只须考虑“四年一闰”的规则。仿照由公式(1)简化为公式(2)的方法，我们很容易就可以从式(8)得到一个比公式(5)更简单的计算任意一天是星期几的公式： W = (4 - C mod 4) * 2 - 1 + (y-1) + [y/4] + [ * (M+1) / 5] + d． (9) 式中，y是年份的后两位数字。 如果再考虑到取模运算不是四则运算，我们还可以把(4 - C mod 4) * 2进一步改写成只含四则运算的表达式。因为世纪数减一C除以4的商数q和余数r之间有如下关系： 4q + r = C， 其中r即是 C mod 4，因此，有： r = C - 4q = C - 4 * [C/4]． () 则 (4 - C mod 4) * 2 ＝ (4 - C + 4 * [C/4]) * 2 ＝ 8 - 2C + 8 * [C/4] ≡ [C/4] - 2C + 1 (mod 7)． () 把式()代入(9)，得到： W = [C/4] - 2C + y + [y/4] + [ * (M+1) / 5] + d - 1． () 这个公式由世纪数减一、年份末两位、月份和日数即可算出W，再除以7，得到的余数是几就表示这一天是星期几，唯一需要变通的是要把1月和2月当成上一年的月和月， C和y都按上一年的年份取值。因此，人们普遍认为这是计算任意一天是星期几的最好的公式。这个公式最早是由德国数学家克里斯蒂安·蔡勒（Christian Zeller, -）在年推导出的，因此通称为蔡勒公式（Zeller's Formula）。为方便口算，式中的[ * (M+1) / 5]也往往写成[ * (M+1) / ]。 现在仍然让我们来算年5月1日的星期，显然C=，y=4，M=5，d=1，代入蔡勒 公式，有： W = [/4] - + 4 + 1 + [ * (5+1) / 5] + 1 - 1 = -． 注意负数不能按习惯的余数的概念求余数，只能按数论中的余数的定义求余。为了方便 计算，我们可以给它加上一个7的整数倍，使它变为一个正数，比如加上，得到。 再除以7，余6，说明这一天是星期六。这和实际是一致的，也和公式(2)计算所得的结果一致。 最后需要说明的是，上面的公式都是基于公历（格里高利历）的置闰规则来考虑的。对于儒略历，蔡勒也推出了相应的公式是： W = 5 - C + y + [y/4] + [ * (M+1) / 5] + d - 1． () 这样，我们终于一劳永逸地解决了不查日历计算任何一天是星期几的问题。

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