【MPC】①二次规划问题MATLAB求解器quadprog(二次规划是什么意思)

【MPC】①二次规划问题MATLAB求解器quadprog 文章目录一、概述（一）二次规划标准形式（二）输入参数（三）输出参数二、MATLAB基础语法三、MATLAB典型求解样例（一）具有线性不等式约束的二次规划（二）具有线性等式约束的二次规划（三）具有线性约束和边界的二次规划一、概述

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二次规划是指约束为线性的二次优化问题。在Matlab中，quadprog是具有线性约束的二次目标函数求解器。

（一）二次规划标准形式

min⁡x12xTHx+fTx\mathop {\min }\limits_x \frac{1}{2}{{\bf{x}}^{\bf{T}}}{\bf{Hx}} + {{\bf{f}}^{\bf{T}}}{\bf{x}}xmin​21​xTHx+fTx 其实H是Hessian 阵，是n乘n的对称阵。

1、海森矩阵的正定性与函数最优性

如果 Hessian 矩阵是半正定的，则我们说该式是一个凸二次规划，在这种情况下该问题的困难程度类似于线性规划。如果有至少一个向量满足约束并且在 可行域 有下界，则凸二次规划问题就有一个全局最小值。如果是正定的，则这类二次规划为严格的凸二次规划，那么全局最小值就是唯一的。如果是一个 不定矩阵 ，则为非凸二次规划，这类二次规划更有挑战性，因为它们有多个平稳点和局部极小值点。

2、基本数学概念

基础概念：https://blog.csdn.net/jbb0523/article/details/50598523凸 严格凸，举例：https://zhuanlan.zhihu.com/p/399549564

3、对称阵的正定性判断

正定矩阵：矩阵的所有特征值均大于0半正定矩阵：矩阵的所有特征值均非负负定矩阵：矩阵所有特征值均小于0

https://blog.csdn.net/Infinity_07/article/details/109569450

4、matlab正、半正、负定阵生成，与quadprog验证 （1）matlab判断正定性：

% 判断矩阵m是正定、半正定还是负定m = [2 -1; -1 2]; if issymmetric(m) % 检查矩阵是否对称 % disp('矩阵对称'); d = eig(m); % 计算矩阵特征值 if all(d > 0) disp('矩阵正定'); elseif all(d >= 0) disp('矩阵半正定'); else disp('矩阵负定'); endelse disp('矩阵不对称');end

（2）matlab产生正定阵的操作

https://blog.csdn.net/zhao523520704/article/details/52918376/

H_posi=diag([1,2,3]);H_semi=diag([0,2,3]);H_nega=diag([-1,-2,-3]);（二）输入参数符号参数含义H二次目标矩阵f线性目标向量A线性不等式矩阵b线性不等式向量Aeq线性等式约束矩阵beq线性等式约束向量lb下界ub上界（三）输出参数符号参数含义x解，以实数向量形式返回wsout解的热启动对象fval再解处的目标函数值exitflagquadprog停止的原因output有关优化过程的信息，以结构体形式返回lambda解处的拉格朗日乘数二、MATLAB基础语法x = quadprog(H,f)x = quadprog(H,f,A,b)x = quadprog(H,f,A,b,Aeq,beq)x = quadprog(H,f,A,b,Aeq,beq,lb,ub)x = quadprog(H,f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0)x = quadprog(H,f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0,options)x = quadprog(problem)[x,fval] = quadprog(___)[x,fval,exitflag,output] = quadprog(___)[x,fval,exitflag,output,lambda] = quadprog(___)[wsout,fval,exitflag,output,lambda] = quadprog(H,f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,ws)三、MATLAB典型求解样例（一）具有线性不等式约束的二次规划

H = [1 -1; -1 2];f = [-2; -6];A = [1 1; -1 2; 2 1];b = [2; 2; 3];[x,fval,exitflag,output,lambda] = quadprog(H,f,A,b);

x = 0.6667 1.3333 fval = -8.2222 exitflag = 1

（二）具有线性等式约束的二次规划

H = [1 -1; -1 2];f = [-2; -6];Aeq = [1 1];beq = 0;[x,fval,exitflag,output,lambda] = ... quadprog(H,f,[],[],Aeq,beq)

x = -0.8000 0.8000 fval = -1.6000 exitflag = 1

（三）具有线性约束和边界的二次规划

H = [1,-1,1 -1,2,-2 1,-2,4];f = [2;-3;1];lb = zeros(3,1);ub = ones(size(lb));Aeq = ones(1,3);beq = 1/2;x = quadprog(H,f,[],[],Aeq,beq,lb,ub)；