滑模控制理论(SMC)(滑模控制理论与应用研究pdf)

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滑膜控制理论是一种建立在现代控制理论基础上的控制理论，其核心为李雅普诺夫函数，滑膜控制的核心是建立一个滑模面，将被控系统拉倒滑模面上来，使系统沿着滑模面运动，滑膜控制的优势在于无视外部扰动和不确定性参数，采取一种比较暴力的方式来达到控制目的，但是这种暴力也带来了一些问题，就是正负信号的高频切换，一般的硬件是无法进行信号的高频切换的，所以需要一些其他的方式避免这个问题，还有就是型号的高频切换会导致输出的信号出现震荡，导致系统在所选取的滑模面之间来回震荡，这种震荡是无法消除的，这也是滑膜控制的一个问题。

优点

滑动模态可以设计

对扰动不敏感

缺点

硬件无法适应高频的信号切换

信号高频切换带来的输出信号震荡

我们可以建立一个简单的二阶系统的状态方程 x˙1=x2x˙2=u\begin{align} \dot x_1 &= x_2 \nonumber \\ \dot x_2 &= u \nonumber \\ \end{align}x˙1​x˙2​​=x2​=u​​ 我们的控制目标很明确，就是希望x1=,x2=x_1 = 0,x_2=0x1​=0,x2​=0

s=cx1+x2s=cx_1+x_2s=cx1​+x2​

这里有个问题就是，滑模面是个什么东西，为什么要设计成这个样子，为什么不是别的样子，其实这个涉及一个问题就是我们控制的目标是什么，是x1=,x2=x_1 = 0,x_2=0x1​=0,x2​=0，那如果s=s=0s=0呢 {cx1+x2=x˙1=x2⇒cx1+x˙1=⇒{x1=x1()e−ctx2=−cx1()e−ct\begin{equation} \begin{cases} cx_1 + x_2 = 0 \\ \dot x_1 = x_2 \\ \end{cases} \Rightarrow cx_1+\dot x_1 = 0 \Rightarrow \begin{cases} x_1 = x_1(0)e^{-ct} \\ x_2 = -cx_1(0)e^{-ct} \\ \end{cases} \nonumber \end{equation}{cx1​+x2​=0x˙1​=x2​​⇒cx1​+x˙1​=0⇒{x1​=x1​(0)e−ctx2​=−cx1​(0)e−ct​​ 可以看出状态量最终都会趋于0，而且是指数级的趋于0。ccc 越大，速度也就越快。所以如果满足s=cx1+c2=s=cx_1+c_2=0s=cx1​+c2​=0,那么系统的状态将沿着滑模面趋于零，（s=s=0s=0称之为滑模面)

上面说，如果 s=s=0s=0 状态变量最终会趋于0，可以如何保证 s=s=0s=0 呢，这就是控制率 uuu 需要保证的内容了 s˙=cx˙1+x˙2=cx2+u\dot s = c \dot x_1 + \dot x_2 = cx_2+us˙=cx˙1​+x˙2​=cx2​+u 趋近律就是指 s˙\dot ss˙ ，趋近律的一般有以下几种设计 {s˙=−εsgn(s),ε>s˙=−εsgn(s)−ks,ε>,k>s˙=−k∣s∣αsgn(s),<α<1\begin {cases} \dot s = - \varepsilon sgn(s), \varepsilon > 0 \\ \dot s = - \varepsilon sgn(s)-ks, \varepsilon > 0 , k>0\\ \dot s = - k|s|^{\alpha}sgn(s), 0 < \alpha < 1 \end{cases}⎩⎨⎧​s˙=−εsgn(s),ε>0s˙=−εsgn(s)−ks,ε>0,k>0s˙=−k∣s∣αsgn(s),0<α<1​

sgn(s)={1,s>−1,s<sgn(s) = \begin{cases} 1,s>0 \\ -1,s<0 \\ \end{cases}sgn(s)={1,s>0−1,s<0​

根据以上的趋近律，我们就可以获得控制量 uuu 了(选取第一种控制率)。 u=−cx2−εsgn(s)u = -cx_2-\varepsilon sgn(s)u=−cx2​−εsgn(s) 我们对系统施加控制量 uuu 即可保证系统最终稳定在原点。

在控制原理中用李雅普诺夫函数来判断系统的稳定性，对于系统状态方程 s˙=cx2+u\dot s = cx_2+us˙=cx2​+u ，我们此时的目标已经是希望把系统拉倒滑模面附近了，控制目标是 sss ,对于 sss 如果存在一个连续函数 VVV 满足下面两个式子，那么系统将在平衡点 s=s=0s=0 处稳定，即lim⁡t→∞V={\lim\limits_{t \to \infty}V = 0}t→∞lim​V=0 lim⁡∣s∣→∞V=∞{\lim\limits_{|s| \to \infty}V = \infty}∣s∣→∞lim​V=∞

V˙< for s≠\dot V < 0 \ for \ s \ne 0V˙<0 for s=0

我们证明的方法就是令 V=12s2V= \frac {1} {2} s ^ 2V=21​s2 ，很明显我们满足第一个条件，我们对 VVV 进行求导， V˙=ss˙=−sεsgn(s)=−ε∣s∣<\dot V = s \dot s = -s \varepsilon sgn(s) = - \varepsilon|s| < 0V˙=ss˙=−sεsgn(s)=−ε∣s∣<0 也是满足第二个条件的，所以最终系统会稳定在滑膜面附近，这也就意味着两个变量也会稳定在滑模面期望他们稳定在的位置，即零点。

上面的分析看似无懈可击，实际上是没什么用的，因为我们最终得到的结论是，在时间趋于无穷时，系统的状态必将趋于0，这有用吗，并没有，因为无限时间这太恐怖了，人死了系统都没稳定的话这没什么意义，所以我们必须要求他是有限时间可达的，所以我们修改一个李雅普诺夫的第二个条件 V˙≤−αV12\dot V \le - \alpha V ^ {\frac {1} {2}}V˙≤−αV21​ 对于改进后的这个条件可以分离变量再积分 dVdt≤−αV12V−12dV≤−αdt∫tV−12dV≤∫t−αdtV12(t)−V12()≤−12αtV12(t)≤−12αt+V12()\begin {align} \frac {\text d V} {\text d t} &\le - \alpha V ^ {\frac {1} {2}} \nonumber\\ V ^ {- \frac {1} {2}} \text d V &\le - \alpha \text d t \nonumber\\ \int^{t}_{0} V ^ {- \frac {1} {2}} \text d V &\le \int^{t}_{0} - \alpha \text d t \nonumber\\ V ^ {\frac {1} {2}} (t) - V ^ {\frac {1} {2}} (0) &\le - \frac {1} {2} \alpha t \nonumber\\ V ^ {\frac {1} {2}} (t) &\le - \frac {1} {2} \alpha t + V ^ {\frac {1} {2}} (0) \nonumber \\ \end {align}dtdV​V−21​dV∫0t​V−21​dVV21​(t)−V21​(0)V21​(t)​≤−αV21​≤−αdt≤∫0t​−αdt≤−21​αt≤−21​αt+V21​(0)​​ 根据上面的等式可以看出，VVV 将在有限时间达到稳定，稳定的最终时间为 tr≤2V12()αt_r \le \frac {2V^ \frac {1} {2} (0)} {\alpha}tr​≤α2V21​(0)​ 因为李雅普诺夫条件的改变，控制器 uuu 也需要作出相应改变 {V˙=ss˙=−sεsgn(s)=−ε∣s∣V=12s2V˙≤−αV12⇒V˙=−ε∣s∣≤−αs2⇒ε≥α2\begin{cases} \dot V = s \dot s = -s \varepsilon sgn(s) = - \varepsilon|s|\\ V = \frac {1} {2} s ^ 2 \\ \dot V \le - \alpha V ^ {\frac{1} {2}} \end{cases} \Rightarrow \dot V = - \varepsilon|s| \le -\alpha \frac{s}{\sqrt {2}} \Rightarrow \varepsilon \ge \frac {\alpha} {\sqrt{2}}⎩⎨⎧​V˙=ss˙=−sεsgn(s)=−ε∣s∣V=21​s2V˙≤−αV21​​⇒V˙=−ε∣s∣≤−α2​s​⇒ε≥2​α​ 也就是给之前随意指定的 ε\varepsilonε 增加了一个控制条件

上面的讨论其实还基于一个假设，没有干扰，没有干扰的控制是非常好做的，也是没什么实际意义的，这里我们将干扰项加入状态方程，之前我们讲到了滑膜方法对干扰是不敏感的，这里我们将从原理上解释为什么滑膜方法对干扰不敏感。

加入干扰后的状态方程 x˙1=x2x˙2=u+d\begin{align} \dot x_1 &= x_2 \nonumber\\ \dot x_2 &= u + d \nonumber\\ \end{align}x˙1​x˙2​​=x2​=u+d​​ 这对我们设计滑膜面没有什么影响，我们的滑膜面如下 s=cx1+x2s = cx_1+x_2s=cx1​+x2​ 我们的趋近律设计也不变 s˙=−εsgn(s)\dot s = - \varepsilon sgn(s)s˙=−εsgn(s) 我们的控制量 uuu 也不变 u=−εsgn(s)−cx2u = - \varepsilon sgn(s) - cx_2u=−εsgn(s)−cx2​

s˙=cx˙1+x˙2=cx2+u+d\begin{align} \dot s &= c \dot x_1 + \dot x_2 \nonumber\\ &=cx_2 + u + d \nonumber\\ \end{align}s˙​=cx˙1​+x˙2​=cx2​+u+d​​

分析稳定性我们依旧使用李雅普诺夫函数 V=12s2V˙=ss˙=s(cx2+u+d)=s(−εsgn(s)+d)≤−ε∣s∣+sd≤−ε∣s∣+sL≤∣s∣(ε−L)\begin{align} V &= \frac {1} {2} s ^ 2 \nonumber\\ \dot V &= s \dot s \nonumber\\ &= s (cx_2 + u + d) \nonumber\\ &= s (- \varepsilon sgn(s) + d) \nonumber\\ & \le -\varepsilon|s| + sd \nonumber\\ & \le -\varepsilon|s| + sL \nonumber\\ & \le |s|(\varepsilon - L) \nonumber\\ \end{align}VV˙​=21​s2=ss˙=s(cx2​+u+d)=s(−εsgn(s)+d)≤−ε∣s∣+sd≤−ε∣s∣+sL≤∣s∣(ε−L)​​ 其中 LLL 为干扰 ddd 的上界 V˙≤−αV12−ε∣s∣+sL≤−αs2−ε∣s∣≤−αs2−sLε∣s∣≥αs2+sLε≥sgn(s)(α2+L)ε≥(α2+L)\begin{align} \dot V &\le - \alpha V ^ {\frac{1} {2}} \nonumber\\ -\varepsilon|s| + sL & \le -\alpha \frac{s}{\sqrt {2}} \nonumber\\ -\varepsilon|s| & \le -\alpha \frac{s}{\sqrt {2}} - sL \nonumber\\ \varepsilon|s| & \ge \alpha \frac{s}{\sqrt {2}} + sL \nonumber\\ \varepsilon & \ge sgn(s)(\frac{\alpha}{\sqrt {2}} + L) \nonumber\\ \varepsilon & \ge (\frac{\alpha}{\sqrt {2}} + L) \nonumber\\ \end{align}V˙−ε∣s∣+sL−ε∣s∣ε∣s∣εε​≤−αV21​≤−α2​s​≤−α2​s​−sL≥α2​s​+sL≥sgn(s)(2​α​+L)≥(2​α​+L)​​ 所以我们直接证明了，当我们的干扰有上界的情况下，我们的滑膜参数 $\varepsilon $ 只需要满足上述条件就可以以指数级的收敛速度收敛到滑膜面附近。

三阶系统的模型如下 x˙1=x2x˙2=x3x˙3=f(x)+g(x)u\begin {align} \dot x_1 &= x_2 \nonumber\\ \dot x_2 &= x_3 \nonumber\\ \dot x_3 &= f(x) + g(x)u \nonumber\\ \end {align}x˙1​x˙2​x˙3​​=x2​=x3​=f(x)+g(x)u​​ 假设，我们期望的 x1x_1x1​ 的目标是 x1dx_{1d}x1d​ ，注意，这里和前文不同，这里的控制目标不在是0了 e1=x1−x1de2=e˙1=x˙1−x˙1d=x2−x˙1de3=e˙2=x¨1−x¨1d=x3−x¨1d\begin{align} e_1 &= x_1 - x_{1d} \nonumber\\ e_2 &= \dot e_1 = \dot x_1 - \dot x_{1d} = x_2 - \dot x_{1d} \nonumber\\ e_3 &= \dot e_2 = \ddot x_1 - \ddot x_{1d} = x_3 - \ddot x_{1d} \nonumber\\ \end{align}e1​e2​e3​​=x1​−x1d​=e˙1​=x˙1​−x˙1d​=x2​−x˙1d​=e˙2​=x¨1​−x¨1d​=x3​−x¨1d​​​ 设计滑模面 s=c1e1+c2e2+e3s = c_1 e_1 + c_2 e_2 + e_3s=c1​e1​+c2​e2​+e3​ 设计李雅普诺夫函数 V=12s2V = \frac{1}{2} s ^ 2V=21​s2 对李雅普诺夫函数进行求导 V˙=ss˙=s(c1e˙1+c2e˙2+e˙3)=s(c1e2+c2e3+x3−x¨1d(3))=s(c1e2+c2e3+x3−f(x)+g(x)u−x1d(3))=s(Γ−f(x)+g(x)u−x1d(3))=sg(x)(Γ−f(x)−x1d(3)g(x)+u)\begin{align} \dot V &= s \dot s \nonumber\\ &= s (c_1 \dot e_1 + c_2 \dot e_2 + \dot e_3) \nonumber\\ &= s (c_1 e_2 + c_2 e_3 + x_3 - \ddot x^{(3)}_{1d}) \nonumber\\ &= s (c_1 e_2 + c_2 e_3 + x_3 - f(x) + g(x)u - x^{(3)}_{1d}) \nonumber\\ &= s (\Gamma - f(x) + g(x)u - x^{(3)}_{1d}) \nonumber\\ &= sg(x)(\frac {\Gamma - f(x) - x^{(3)}_{1d}} {g(x)} + u) \nonumber\\ \end{align}V˙​=ss˙=s(c1​e˙1​+c2​e˙2​+e˙3​)=s(c1​e2​+c2​e3​+x3​−x¨1d(3)​)=s(c1​e2​+c2​e3​+x3​−f(x)+g(x)u−x1d(3)​)=s(Γ−f(x)+g(x)u−x1d(3)​)=sg(x)(g(x)Γ−f(x)−x1d(3)​​+u)​​ 这里我们设计趋近律 s˙=−εsgn(s)=Γ−f(x)+g(x)u−x1d(3)\dot s = - \varepsilon sgn(s) = \Gamma - f(x) + g(x)u - x^{(3)}_{1d}s˙=−εsgn(s)=Γ−f(x)+g(x)u−x1d(3)​ 得到控制量 uuu u=−εsgn(s)−Γ+f(x)+x1d(3)g(x)u = \frac {-\varepsilon sgn(s) - \Gamma + f(x) + x^{(3)}_{1d}} {g(x)}u=g(x)−εsgn(s)−Γ+f(x)+x1d(3)​​ 带入李雅普诺夫函数可得 V˙=−sεsgn(s)=−ε∣s∣≤\dot V = -s \varepsilon sgn(s) = -\varepsilon |s| \le 0V˙=−sεsgn(s)=−ε∣s∣≤0 这里可以看到系统必将稳定，如果需要控制到达稳定的时间就限制 ε\varepsilonε 即可