【自动驾驶】二自由度车辆动力学模型(自动驾驶讲解)

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我们作如下假设：

在运动学模型中，我们假设了单车模型中前后轮的速度矢量与轮子方向一致。当车辆速度很高时，单车模型中前后轮的速度矢量不再与轮子方向一致。此时运动学模型就不能准确地描述车辆的运动状态，这就需要使用动力学模型对车辆进行建模。

车辆单车模型中需要考虑两个维度的信息，这两个维度分别指代表车辆横向位置信息的 yyy和表示车辆偏航角信息的 ψ\psiψ。他们可以大致分为两类： 纵向力(Longitudinal force) 和 横向力（Lateral force）, 纵向力就是使车辆前后移动的力量，而横向力则促使车辆在横向移动，在力的相互作用过程中，轮胎起着决定性的作用（根据一定的物理常识，轮胎是车辆运动的一个重要的力的来源）。

之所以叫二自由度的车辆动力学模型，就是因为二自由度指的是横向上y轴的运动和绕z轴的转动，忽略了纵向x轴的运动。

建立如下坐标系，X,Y表示全局坐标系，x,y则表示车身坐标系，x轴方向沿车辆中轴方向向前，y轴方向朝右，其车辆中心在质心位置。车辆的状态信息表示为(x,y,ψ,v)(x,y,\psi,v)(x,y,ψ,v)，即x,yx,yx,y方向上的位置，偏航角和速度。

首先假设车辆为一个质点，对该质点进行受力分析，并根据牛顿第二定律得 may=Fyf+Fyrmax=Fxf+Fxr−Faero(1)\tag{1} m a_{y}=F_{y f}+F_{y r}\\ ma_x=F_{xf}+F_{xr}-F_{aero}may​=Fyf​+Fyr​max​=Fxf​+Fxr​−Faero​(1) 其中，

aya_{y}ay​ 为车辆重心处 yyy 轴方向的惯性加速度，满足ay=d2ydt2a_y=\frac{d^2y}{dt^2}ay​=dt2d2y​

FyfF_{y f}Fyf​ 和 FyrF_{y r}Fyr​ ​分别表示车前轮和后轮所受到的力在y轴方向上的分量。

FxfF_{x f}Fxf​ 和 FxrF_{x r}Fxr​分别表示车前轮和后轮所受到的力在x轴方向上的分量。

FaeroF_{aero}Faero​​表示车在x轴方向受到的空气阻力。

平动过程中，有两 种力共同作用产生加速度 aya_{y}ay​ : 车辆延 yyy 轴产生的惯性加速度 y¨\ddot{y}y¨​ 和车辆绕旋转中心 OOO 旋转产生的向心加速度 ac=vx2R=vxψ˙∘a_{c}=\frac{{v_x}^2}{R}=v_{x} \dot{\psi}_{\circ}ac​=Rvx​2​=vx​ψ˙​∘​ ay=y¨+vxψ˙(2)\tag{2} a_{y}=\ddot{y}+v_{x} \dot{\psi}ay​=y¨​+vx​ψ˙​(2) 将公式(2)带入公式(1)得 m(y¨+vxψ˙)=Fyf+Fyr(3)\tag{3} m\left(\ddot{y}+v_{x} \dot{\psi}\right)=F_{y f}+F_{y r}m(y¨​+vx​ψ˙​)=Fyf​+Fyr​(3)

同理，沿着x轴有 ax=v˙x−vyψ˙m(v˙x−vyψ˙)=Fxf+Fxr−Faero(3-2)\tag{3-2} a_x=\dot{v}_x-v_y\dot{\psi}\\ m(\dot{v}_x-v_y\dot{\psi})=F_{xf}+F_{xr}-F_{aero}ax​=v˙x​−vy​ψ˙​m(v˙x​−vy​ψ˙​)=Fxf​+Fxr​−Faero​(3-2)

其中， vx˙=x¨vy˙=y¨\dot{v_x}=\ddot{x}\\ \dot{v_y}=\ddot{y}vx​˙​=x¨vy​˙​=y¨​

假设车辆为刚体，刚体绕重心转动，该运动过程使用力矩和转动惯量进行描述。 车辆绕Z轴旋转产生的力矩平衡，对应的偏航动力学方程为 Izψ¨=lfFyf−lrFyr(4)\tag{4} I_{z} \ddot{\psi}=l_{f} F_{y f}-l_{r} F_{y r}Iz​ψ¨​=lf​Fyf​−lr​Fyr​(4) 其中， lfl_{f}lf​ 和 lrl_{r}lr​ 代表前后轮胎到重心的距离。

车辆轮胎在y轴方向受到的力FyfF_{yf}Fyf​​、 FyrF_{yr}Fyr​​实验结果表明，其大小正比于轮胎的侧滑角。其侧滑角如下图所示：

根据上图，前轮侧滑角为

αf=δ−θvf(5)\tag{5} \alpha_{f}=\delta-\theta_{v f}αf​=δ−θvf​(5) 其中， θvf\theta_{v f}θvf​ 代表速度矢量与车辆纵轴的夹角， δ\deltaδ 代表前轮转向角。

同理，由于后轮转向角 δ\deltaδ 为 0 ，故后轮侧滑角为 αr=−θvr(6)\tag{6} \alpha_{r}=-\theta_{vr}αr​=−θvr​(6) 车辆前轮的横向力可以表示为 Fyf=2Cαf(δ−θvf)(7)\tag{7} F_{y f}=2 C_{\alpha f}\left(\delta-\theta_{v f}\right)Fyf​=2Cαf​(δ−θvf​)(7) 其中，比例常数 CαfC_{\alpha f}Cαf​ 代表每个前轮的转弯刚度(cornering stiffness)。

同理后轮的横向力可以写为 Fyr=2Cαr(−θvr)(8)\tag{8} F_{y r}=2 C_{\alpha r}\left(-\theta_{v r}\right)Fyr​=2Cαr​(−θvr​)(8) 其中，比例常数 CαrC_{\alpha r}Cαr​ 代表每个后轮的转弯刚度(cornering stiffness)。

点 C 代表车辆的重心， A 点和 B点到重心的距离分别用 lfl_flf​​和 lrl_rlr​​​表示，轴距表示为L=lf+lrL = l_f + l_rL=lf​+lr​​。

车辆平动产生的速度分量 vxv_{x}vx​ 和 vyv_{y}vy​ ，以及绕点 CCC 转动产生的线速度 lfψ˙l_{f} \dot{\psi}lf​ψ˙​ 和 lrψ˙l_{r} \dot{\psi}lr​ψ˙​ (根据角速度与线速度的关系ω=vR\omega=\frac{v}{R}ω=Rv​得到)组成。根据上图得 tan⁡(θvf)=vy+lfψ˙vx(9)\tag{9} \tan \left(\theta_{v f}\right)=\frac{v_{y}+l_{f} \dot{\psi}}{v_{x}}tan(θvf​)=vx​vy​+lf​ψ˙​​(9) tan⁡(θvr)=vy−lrψ˙vx(10)\tag{10} \tan \left(\theta_{v r}\right)=\frac{v_{y}-l_{r} \dot{\psi}}{v_{x}}tan(θvr​)=vx​vy​−lr​ψ˙​​(10) 由于通常情况下速度矢量的夹角很小，可以使用小角度近似原理 tan⁡(δ)≈δ\tan \left(\delta\right) \approx \deltatan(δ)≈δ 得 θvf=y˙+lfψ˙vx(11)\tag{11} \theta_{v f}=\frac{\dot{y}+l_{f} \dot{\psi}}{v_{x}}θvf​=vx​y˙​+lf​ψ˙​​(11) θvr=y˙−lrψ˙vx(12)\tag{12} \theta_{v r}=\frac{\dot{y}-l_{r} \dot{\psi}}{v_{x}}θvr​=vx​y˙​−lr​ψ˙​​(12)

将等式(7)、(8)、(11)和(12)代入等式(3)中得 m(y¨+vxψ˙)=2Cαf(δ−y˙+lfψ˙vx)+2Cαr(−y˙−lrψ˙vx)(13)\tag{13} m\left(\ddot{y}+v_{x} \dot{\psi}\right)=2 C_{\alpha f}\left(\delta-\frac{\dot{y}+l_{f} \dot{\psi}}{v_{x}}\right)+2 C_{\alpha r}\left(-\frac{\dot{y}-l_{r} \dot{\psi}}{v_{x}}\right)m(y¨​+vx​ψ˙​)=2Cαf​(δ−vx​y˙​+lf​ψ˙​​)+2Cαr​(−vx​y˙​−lr​ψ˙​​)(13) 等式(13)左右两边同时除以 mmm ，分别提取 y¨、y˙、ψ˙\ddot{y} 、 \dot{y} 、 \dot{\psi}y¨​、y˙​、ψ˙​ 和 δ\deltaδ 项得 y¨=−2Cαf+2Cαrmvxy˙−(vx+2Cαflf−2Cαrlrmvx)ψ˙+2Cαfmδ(14)\tag{14} \ddot{y}=-\frac{2 C_{\alpha f}+2 C_{\alpha r}}{m v_{x}} \dot{y}-\left(v_{x}+\frac{2 C_{\alpha f} l_{f}-2 C_{\alpha r} l_{r}}{m v_{x}}\right) \dot{\psi}+\frac{2 C_{\alpha f}}{m} \deltay¨​=−mvx​2Cαf​+2Cαr​​y˙​−(vx​+mvx​2Cαf​lf​−2Cαr​lr​​)ψ˙​+m2Cαf​​δ(14) 转化为矩阵形式如下 y¨=[−2Cαf+2CαrmVx−(vx+2Cαflf−2Cαrlrmvx)][yy˙ψψ˙]+2Cαfmδ(15)\tag{15} \ddot{y}=\left[\begin{array}{llll} 0 & -\frac{2 C_{\alpha f}+2 C_{\alpha r}}{m V_{x}} & 0 & -\left(v_{x}+\frac{2 C_{\alpha f} l_{f}-2 C_{\alpha r} l_{r}}{m v_{x}}\right) \end{array}\right]\left[\begin{array}{l} y \\ \dot{y} \\ \psi \\ \dot{\psi} \end{array}\right]+\frac{2 C_{\alpha f}}{m} \deltay¨​=[0​−mVx​2Cαf​+2Cαr​​​0​−(vx​+mvx​2Cαf​lf​−2Cαr​lr​​)​]⎣⎡​yy˙​ψψ˙​​⎦⎤​+m2Cαf​​δ(15) 同理，将等式(7)、(8)、(11)和(12)代入等式(4)中得 Izψ¨=2lfCαf(δ−y˙+lfψ˙vx)−2lrCαr(−y˙−lrψ˙vx)(16)\tag{16} I_{z} \ddot{\psi}=2 l_{f} C_{\alpha f}\left(\delta-\frac{\dot{y}+l_{f} \dot{\psi}}{v_{x}}\right)-2 l_{r} C_{\alpha r}\left(-\frac{\dot{y}-l_{r} \dot{\psi}}{v_{x}}\right)Iz​ψ¨​=2lf​Cαf​(δ−vx​y˙​+lf​ψ˙​​)−2lr​Cαr​(−vx​y˙​−lr​ψ˙​​)(16) 等式(16)左右两边同时除以 IzI_{z}Iz​ ，分别提取 y˙、ψ¨、ψ˙\dot{y} 、 \ddot{\psi} 、 \dot{\psi}y˙​、ψ¨​、ψ˙​ 和 δ\deltaδ 项得 ψ¨=−2lfCαf−2lrCαrIzvxy˙−2lf2Cαf+2lr2CαrIzvxψ˙+2lfCαfIzδ(17)\tag{17} \ddot{\psi}=-\frac{2 l_{f} C_{\alpha f}-2 l_{r} C_{\alpha r}}{I_{z} v_{x}} \dot{y}-\frac{2 l_{f}{ }^{2} C_{\alpha f}+2 l_{r}{ }^{2} C_{\alpha r}}{I_{z} v_{x}} \dot{\psi}+\frac{2 l_{f} C_{\alpha f}}{I_{z}} \deltaψ¨​=−Iz​vx​2lf​Cαf​−2lr​Cαr​​y˙​−Iz​vx​2lf​2Cαf​+2lr​2Cαr​​ψ˙​+Iz​2lf​Cαf​​δ(17) 等效的矩阵形式为 ψ¨=[−2lfCαf−2lrCαrIzvx−2lf2Cαf+2lr2CαrIzvx][yy˙ψψ˙]+2lfCαfIzδ(18)\tag{18} \ddot{\psi}=\left[\begin{array}{llll} 0 & -\frac{2 l_{f} C_{\alpha f}-2 l_{r} C_{\alpha r}}{I_{z} v_{x}} & 0 & -\frac{2 l_{f}{ }^{2} C_{\alpha f}+2 l_{r}{ }^{2} C_{\alpha r}}{I_{z} v_{x}} \end{array}\right]\left[\begin{array}{l} y \\ \dot{y} \\ \psi \\ \dot{\psi} \end{array}\right]+\frac{2 l_{f} C_{\alpha f}}{I_{z}} \deltaψ¨​=[0​−Iz​vx​2lf​Cαf​−2lr​Cαr​​​0​−Iz​vx​2lf​2Cαf​+2lr​2Cαr​​​]⎣⎡​yy˙​ψψ˙​​⎦⎤​+Iz​2lf​Cαf​​δ(18)

根据等式(15)和(18)得 [y˙y¨ψ˙ψ¨]=[1−2Cαf+2CαrmVx−(Vx+2Cαflf−2CαrlrmVx)1−2lfCαf−2lrCαrIzVx−2lf2Cαf+2lr2CαrIzVx][yy˙ψψ˙]+[2Cαfm2lfCαfIz]δ(19)\tag{19} \begin{aligned} \left[\begin{array}{c} \dot{y} \\ \ddot{y} \\ \dot{\psi} \\ \ddot{\psi} \end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccc} 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -\frac{2 C_{\alpha f}+2 C_{\alpha r}}{m V_{x}} & 0 & -\left(V_{x}+\frac{2 C_{\alpha f} l_{f}-2 C_{\alpha r} l_{r}}{m V_{x}}\right) \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & -\frac{2 l_{f} C_{\alpha f}-2 l_{r} C_{\alpha r}}{I_{z} V_{x}} & 0 & -\frac{2 l_{f}{ }^{2} C_{\alpha f}+2 l_{r}{ }^{2} C_{\alpha r}}{I_{z} V_{x}} \end{array}\right]\left[\begin{array}{c} y \\ \dot{y} \\ \psi \\ \dot{\psi} \end{array}\right] \\ +\left[\begin{array}{c} 0\\ \frac{2 C_{\alpha f}}{m} \\ 0 \\ \frac{2 l_{f} C_{\alpha f}}{I_{z}} \end{array}\right] \delta \end{aligned}⎣⎡​y˙​y¨​ψ˙​ψ¨​​⎦⎤​=⎣⎡​0000​1−mVx​2Cαf​+2Cαr​​0−Iz​Vx​2lf​Cαf​−2lr​Cαr​​​0000​0−(Vx​+mVx​2Cαf​lf​−2Cαr​lr​​)1−Iz​Vx​2lf​2Cαf​+2lr​2Cαr​​​⎦⎤​⎣⎡​yy˙​ψψ˙​​⎦⎤​+⎣⎡​0m2Cαf​​0Iz​2lf​Cαf​​​⎦⎤​δ​(19)

注意：上述动力学方程的推导建立在车辆侧滑角很小的情况下，这时的轮胎作用力与侧滑角可以近似为线性关系。当侧滑角很大时，轮胎作用力与侧滑角就不再是线性关系。

如果还额外考虑路面坡度角（road bank angles）的影响，则公式（1）应写为 may=Fyf+Fyr+Fbankm a_{y}=F_{y f}+F_{y r}+F_{bank}may​=Fyf​+Fyr​+Fbank​

式中 Fbank=mgsin⁡ϕF_{bank} = mg\sin{\phi}Fbank​=mgsinϕ ϕ\phiϕ为路面坡度角，如下图所示

转动过程不受坡度角影响，即公式（4)不变。因此，其它按部就班推导即可。

车辆在 x\mathrm{x}x 轴方向的力 Fxf、FxrF_{x f} 、 F_{x r}Fxf​、Fxr​ 与轮胎的滑比 σx\sigma_{x}σx​ 成正比。其定义为: {σx=reffωw−vxvx ——刹车时 σx=reffωw−vxreffωw ——加速时 (20)\tag{20} \left\{\begin{array}{l} \sigma_{x}=\frac{r_{e f f} \omega_{w}-v_{x}}{v_{x}} \text { ——刹车时 } \\ \sigma_{x}=\frac{r_{e f f} \omega_{w}-v_{x}}{r_{e f f} \omega_{w}} \text { ——加速时 } \end{array}\right.{σx​=vx​reff​ωw​−vx​​ ——刹车时 σx​=reff​ωw​reff​ωw​−vx​​ ——加速时 ​(20) 因此有: Fxf=2Cσfσxf(21)\tag{21} F_{x f}=2 C_{\sigma f} \sigma_{x f}Fxf​=2Cσf​σxf​(21) Fxr=2Cσrσxr(22)\tag{22} F_{x r}=2 C_{\sigma r} \sigma_{x r}Fxr​=2Cσr​σxr​(22) 其中 CσrC_{\sigma r}Cσr​ 为纵向的轮胎刚性参数（tire stiffness parameters)。

对于空气阻力 : Faero =12ρCdAF(vx+vwind )2(23)\tag{23} F_{\text {aero }}=\frac{1}{2} \rho C_{d} A_{F}\left(v_{x}+v_{\text {wind }}\right)^{2}Faero ​=21​ρCd​AF​(vx​+vwind ​)2(23) 另外在全局坐标系下: {X˙=vxcos⁡(ψ)−vysin⁡(ψ)Y˙=vxsin⁡(ψ)+vycos⁡(ψ)(24)\tag{24} \left\{\begin{array}{l} \dot{X}=v_{x} \cos (\psi)-v_{y} \sin (\psi) \\ \dot{Y}=v_{x} \sin (\psi)+v_{y} \cos (\psi) \end{array}\right.{X˙=vx​cos(ψ)−vy​sin(ψ)Y˙=vx​sin(ψ)+vy​cos(ψ)​(24)

联立等式(3-2),(21),(22),(23)，得

v˙x=2Cσrσxr+2Cσfσxf−12ρCdAF(vx+vwind)2m+vyψ˙(25)\tag{25} \dot{v}_{x}=\frac{2 C_{\sigma r} \sigma_{x r}+2 C_{\sigma f} \sigma_{x f}-\frac{1}{2} \rho C_{d} A_{F}\left(v_{x}+v_{w i n d}\right)^{2}}{m}+v_{y} {\dot{\psi}}v˙x​=m2Cσr​σxr​+2Cσf​σxf​−21​ρCd​AF​(vx​+vwind​)2​+vy​ψ˙​(25)

联立等式(14)，(17)，(24)，(25)得 {X˙=vxcos⁡(ψ)−vysin⁡(ψ)Y˙=vxsin⁡(ψ)+vycos⁡(ψ)x˙=vxy˙=vyv˙x=2Cσrσxr+2Cσfσxf−12ρCdAF(vx+vwind)2m+vyψ˙v˙y=−2Cαf+2Cαrmvxy˙−(vx+2Cαflf−2Cαrlrmvx)ψ˙+2Cαfmδψ¨=−2lfCαf−2lrCαrIzvxy˙−2lf2Cαf+2lr2CαrIzvxψ˙+2lfCαfIzδ(26)\tag{26} \left\{\begin{array}{l} \dot{X}=v_{x} \cos (\psi)-v_{y} \sin (\psi) \\ \dot{Y}=v_{x} \sin (\psi)+v_{y} \cos (\psi)\\ \dot{x}=v_x\\ \dot{y}=v_y\\ \dot{v}_{x}=\frac{2 C_{\sigma r} \sigma_{x r}+2 C_{\sigma f} \sigma_{x f}-\frac{1}{2} \rho C_{d} A_{F}\left(v_{x}+v_{w i n d}\right)^{2}}{m}+v_{y} {\dot{\psi}}\\ \dot{v}_y=-\frac{2 C_{\alpha f}+2 C_{\alpha r}}{m v_{x}} \dot{y}-\left(v_{x}+\frac{2 C_{\alpha f} l_{f}-2 C_{\alpha r} l_{r}}{m v_{x}}\right) \dot{\psi}+\frac{2 C_{\alpha f}}{m} \delta\\ \ddot{\psi}=-\frac{2 l_{f} C_{\alpha f}-2 l_{r} C_{\alpha r}}{I_{z} v_{x}} \dot{y}-\frac{2 l_{f}{ }^{2} C_{\alpha f}+2 l_{r}{ }^{2} C_{\alpha r}}{I_{z} v_{x}} \dot{\psi}+\frac{2 l_{f} C_{\alpha f}}{I_{z}} \delta \end{array}\right.⎩⎨⎧​X˙=vx​cos(ψ)−vy​sin(ψ)Y˙=vx​sin(ψ)+vy​cos(ψ)x˙=vx​y˙​=vy​v˙x​=m2Cσr​σxr​+2Cσf​σxf​−21​ρCd​AF​(vx​+vwind​)2​+vy​ψ˙​v˙y​=−mvx​2Cαf​+2Cαr​​y˙​−(vx​+mvx​2Cαf​lf​−2Cαr​lr​​)ψ˙​+m2Cαf​​δψ¨​=−Iz​vx​2lf​Cαf​−2lr​Cαr​​y˙​−Iz​vx​2lf​2Cαf​+2lr​2Cαr​​ψ˙​+Iz​2lf​Cαf​​δ​(26)