智能优化算法：白鲸优化算法-附代码(智能优化算法及其MATLAB实例)

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摘要：白鲸优化算法([Beluga whale optimization，BWO)是由是由 Changting Zhong 等于2022 年提出的一种群体智能优化算法。其灵感来源于白鲸的群体觅食行为。

BWO建立了探索、开发和鲸鱼坠落的三个阶段，分别对应于成对游泳、捕食和鲸落的行为。BWO中的平衡因子和鲸落概率是自适应的，对控制探索和开发能力起着重要作用。此外，还引入了莱维飞行来增强开发阶段的全局收敛性。

BWO算法可以从探索逐渐转换到开发，这取决于平衡因子  Bf\mathrm{~B}_{\mathrm{f}} Bf​ ，其定义为: Bf=B(1−T/(2 Tmax⁡))\mathrm{B}_{\mathrm{f}}=\mathrm{B}_0\left(1-\mathrm{T} /\left(2 \mathrm{~T}_{\max }\right)\right)Bf​=B0​(1−T/(2 Tmax​)) 其中， T\mathrm{T}T 是当前迭代次， Tmax⁡\mathrm{T}_{\max }Tmax​ 是最大迭代次数， B\mathrm{B}_0B0​ 在每次迭代中在 (,1)(0,1)(0,1) 之间随机变化。探索阶段发生在平衡因子 Bf>0.5\mathrm{B}_{\mathrm{f}}>0.5Bf​>0.5 时，而开发 阶段发生在 Bf≤0.5\mathrm{B}_{\mathrm{f}} \leq 0.5Bf​≤0.5 。随着迭代次数 T\mathrm{T}T 的增加， Bf\mathrm{B}_{\mathrm{f}}Bf​ 的波动范围从 (,1)(0,1)(0,1) 减小到 (,0.5)(0,0.5)(0,0.5) ，说明开发和探索阶段的概率发生了显著变化，而 开发阶段的概率随着迭代次数 T\mathrm{T}T 的不断增加而增加。

BWO的探索阶段是白鲸的游泳行为建立的。搜索代理的位置由白鲸的配对游泳决定，白鲸的位置更新如下: {Xi,jT+1=Xi,pjT+(Xr,p1T−Xi,pjT)(1+r1)sin⁡(2πr2),j= even Xi,jT+1=Xi,pjT+(Xr,p1T−Xi,pjT)(1+r1)cos⁡(2πr2),j=odd\begin{cases}\mathrm{X}_{\mathrm{i}, \mathrm{j}}^{\mathrm{T+1}}=\mathrm{X}_{\mathrm{i}, \mathrm{p}_{\mathrm{j}}}^{\mathrm{T}}+\left(\mathrm{X}_{\mathrm{r}, \mathrm{p}_1}^{\mathrm{T}}-\mathrm{X}_{\mathrm{i}, \mathrm{p}_{\mathrm{j}}}^{\mathrm{T}}\right)\left(1+\mathrm{r}_1\right) \sin \left(2 \pi \mathrm{r}_2\right), \mathrm{j}=\text { even } \\ \mathrm{X}_{\mathrm{i}, \mathrm{j}}^{\mathrm{T}+1}=\mathrm{X}_{\mathrm{i}, \mathrm{p}_{\mathrm{j}}}^{\mathrm{T}}+\left(\mathrm{X}_{\mathrm{r}, \mathrm{p}_1}^{\mathrm{T}}-\mathrm{X}_{\mathrm{i}, \mathrm{p}_{\mathrm{j}}}^{\mathrm{T}}\right)\left(1+\mathrm{r}_1\right) \cos \left(2 \pi \mathrm{r}_2\right), \quad \mathrm{j}=\mathrm{odd}\end{cases}⎩⎨⎧​Xi,jT+1​=Xi,pj​T​+(Xr,p1​T​−Xi,pj​T​)(1+r1​)sin(2πr2​),j= even Xi,jT+1​=Xi,pj​T​+(Xr,p1​T​−Xi,pj​T​)(1+r1​)cos(2πr2​),j=odd​ 其中， T\mathrm{T}T 是当前迭代次数， Xi,jT+1\mathrm{X}_{\mathrm{i}, \mathrm{j}}^{\mathrm{T+1}}Xi,jT+1​ 是第i只白鲸在第jjj维上的新位置， pj(j=1,2,⋯ ,d)\mathrm{p}_{\mathrm{j}}(\mathrm{j}=1,2, \cdots, \mathrm{d})pj​(j=1,2,⋯,d) 是从 d\mathrm{d}d 维中选择的随机整数， Xi,pjT\mathrm{X}_{\mathrm{i}, \mathrm{p} \mathrm{j}}^{\mathrm{T}}Xi,pjT​ 是第i条白鲸 在 pj\mathrm{p}_{\mathrm{j}}pj​ 维度上的位置， Xi,pjT\mathrm{X}_{\mathrm{i}, \mathrm{p}_{\mathrm{j}}}^{\mathrm{T}}Xi,pj​T​ 和 Xr,p1T\mathrm{X}_{\mathrm{r}, \mathrm{p} 1}^{\mathrm{T}}Xr,p1T​ 分别是第1条和第 r\mathrm{r}r 条白鲸的当前位置 (r\left(\mathrm{r}\right.(r 是随机选择的白鲸)，随机数 r1r_1r1​ 和 r2r_2r2​ 用于增强探索阶段的随机算子 ，r1\mathrm{r}_1r1​ 和 r2\mathrm{r}_2r2​ 是 (,1)(0,1)(0,1) 的随机数， sin⁡(2πr2)\sin \left(2 \pi \mathrm{r}_2\right)sin(2πr2​) 和 sin⁡(2πr2)\sin \left(2 \pi \mathrm{r}_2\right)sin(2πr2​) 表示镜像白鲸的鲌朝向水面。根据奇偶数选择的维数，更新后的位置反映了白鲸在游泳或跳水时的同步或镜像行为。

BWO的开发阶段受到白鲸捕食行为的启发。白鲸可以根据附近白鲸的位置合作觅食和移动。因此，白鲸通过共享彼此的位置信息来捕 食，同时考虑最佳候选者和其他候选者。在BWO的开发阶段引入了莱维飞行策略，以增强收敛性。假设它们可以使用莱维飞行策略捕捉 猎物，数学模型表示为： XiT+1=r3Xbest T−r4XiT+C1⋅LF⋅(XrT−XiT)\mathrm{X}_{\mathrm{i}}^{\mathrm{T}+1}=\mathrm{r}_3 \mathrm{X}_{\text {best }}^{\mathrm{T}}-\mathrm{r}_4 \mathrm{X}_{\mathrm{i}}^{\mathrm{T}}+\mathrm{C}_1 \cdot \mathrm{L}_{\mathrm{F}} \cdot\left(\mathrm{X}_{\mathrm{r}}^{\mathrm{T}}-\mathrm{X}_{\mathrm{i}}^{\mathrm{T}}\right)XiT+1​=r3​Xbest T​−r4​XiT​+C1​⋅LF​⋅(XrT​−XiT​) 其中， T\mathrm{T}T 是当前迭代次数， XiT\mathrm{X}_{\mathrm{i}}^{\mathrm{T}}XiT​ 和 XrT\mathrm{X}_{\mathrm{r}}^{\mathrm{T}}XrT​ 分别是第 i\mathrm{i}i 条白鲸和随机白鲸的当前位置， XiT+1\mathrm{X}_{\mathrm{i}}^{\mathrm{T}+1}XiT+1​ 是第 i\mathrm{i}i 条白鲸的新位置， XbestT\mathrm{X}_{\mathrm{best}}^{\mathrm{T}}XbestT​ 是白鲸种群中的最佳位置， r3\mathrm{r}_3r3​ 和 r4\mathrm{r}_4r4​ 是 (,1)(0,1)(0,1) 之间的随机数， C1=2r4(1−T/Tmax⁡)\mathrm{C}_1=2 \mathrm{r}_4\left(1-\mathrm{T} / \mathrm{T}_{\max }\right)C1​=2r4​(1−T/Tmax​) 是衡量莱维飞行强度的随机跳跃强度。 LF\mathrm{L}_{\mathrm{F}}LF​ 是莱维飞行函数，计算如下: LF=0.05×u×σ∣v∣1/βσ=(Γ(1+β)×sin⁡(πβ/2)Γ((1+β)/2)×β×2(β−1)/2)1/β\begin{gathered} \mathrm{L}_{\mathrm{F}}=0.05 \times \frac{\mathrm{u} \times \sigma}{|\mathrm{v}|^{1 / \beta}} \\ \sigma=\left(\frac{\Gamma(1+\beta) \times \sin (\pi \beta / 2)}{\Gamma((1+\beta) / 2) \times \beta \times 2^{(\beta-1) / 2}}\right)^{1 / \beta} \end{gathered}LF​=0.05×∣v∣1/βu×σ​σ=(Γ((1+β)/2)×β×2(β−1)/2Γ(1+β)×sin(πβ/2)​)1/β​ 其中， uuu 和 vvv 为正态分布随机数， β\betaβ 为默认常数，等于1.5。

为了在每次迭代中模拟鲸鱼坠落的行为，从种群中的个体中选择鲸鱼坠落概率作为主观假设，以模拟群体中的小变化。假设这些白鲸要 么移到别处，要么被击落并坠入深海。为了确保种群大小的数量恒定，使用白鲸的位置和鲸鱼落体的步长来建立更新的位置。数学模型表 示为： XiT+1=r5XiT−r6XrT+r7Xstep \mathrm{X}_{\mathrm{i}}^{\mathrm{T}+1}=\mathrm{r}_5 \mathrm{X}_{\mathrm{i}}^{\mathrm{T}}-\mathrm{r}_6 \mathrm{X}_{\mathrm{r}}^{\mathrm{T}}+\mathrm{r}_7 \mathrm{X}_{\text {step }}XiT+1​=r5​XiT​−r6​XrT​+r7​Xstep ​ 其中， r5、r6\mathrm{r}_5 、 \mathrm{r}_6r5​、r6​ 和 r7\mathrm{r}_7r7​ 是 (,1)(0,1)(0,1) 之间的随机数， Xstep\mathrm{X}_{\mathrm{step}}Xstep​ 是鲸鱼坠落的步长，定义为: Xstep =(ub−lb)exp⁡(−C2 T/Tmax⁡)\mathrm{X}_{\text {step }}=\left(\mathrm{u}_{\mathrm{b}}-\mathrm{l}_{\mathrm{b}}\right) \exp \left(-\mathrm{C}_2 \mathrm{~T} / \mathrm{T}_{\max }\right)Xstep ​=(ub​−lb​)exp(−C2​ T/Tmax​) 其中， C2\mathrm{C}_2C2​ 是与鲸鱼下降概率和种群规模相关的阶跃因子 (C2=2 Wf×n)\left(\mathrm{C}_2=2 \mathrm{~W}_{\mathrm{f}} \times \mathrm{n}\right)(C2​=2 Wf​×n) ， ub\mathrm{u}_{\mathrm{b}}ub​ 和 lb\mathrm{l}_{\mathrm{b}}lb​ 分别是变量的上下限。可以看出，步长受问题变量边 界、当前迭代次数和最大迭代次数的影响。 在该模型中，鲸鱼坠落概率 (Wf)\left(\mathrm{W}_{\mathrm{f}}\right)(Wf​) 作为线性函数计算: Wf=0.1−0.05 T/Tmax⁡\mathrm{W}_{\mathrm{f}}=0.1-0.05 \mathrm{~T} / \mathrm{T}_{\max }Wf​=0.1−0.05 T/Tmax​ 鲸鱼队落的概率从初始迭代的0.1降低到最后一次迭代的 0.050.050.05 ，表明在优化过程中，当白鲸更接近食物源时，白鲸的危险性降低。

[1] Changting Zhong, Gang Li, Zeng Meng. Beluga whale optimization: A novel nature-inspired metaheuristic algorithm[J]. Knowledge-Based Systems, 2022, 251: 109215.