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【自动驾驶】车辆运动学模型(自动驾驶车祸)
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模型的用处就是在当前状态给定某控制输入时，预测（估计） 系统未来的状态。控制领域利用模型设计合适的输入，以期控制系统到达目标状态。
1. 以车辆重心为中心的单车运动学模型1.1 参数说明一般考虑运动学模型时，将车辆模型简化成单车模型(bicycle model)。
单车模型中：
左右轮等效为单个轮子 左右前轮合并为单个轮子，其中心点为A点，同样后轮等效后的中心点为 B点。
转向角 前后轮的转向角用δf\delta_fδf和δr\delta_rδr表示，模型中前后轮都可以转向，对于只有前轮转向的系统，后轮转向角δr\delta_rδr可以设置为0.
重心 点 C 代表车辆的重心， A 点和 B点到重心的距离分别用 lfl_flf和 lrl_rlr表示，轴距表示为L=lf+lrL = l_f + l_rL=lf+lr。
速度 车辆重心的速度用VVV表示，与车辆纵向轴的夹角为β\betaβ，该角度叫做车辆的滑移角。
运动描述 假设车辆平动，车辆运动状态可以用三个坐标量描述： xxx 、yyy 和 ψ\psiψ。其中(x,y)(x,y)(x,y)代表车辆的位置，ψ\psiψ描述的是航向角（Heading Angle），指车身与X轴的夹角。
条件假设 假设速度矢量VVV的方向在点AAA点和BBB点的方向与转向角的方向相同，换句话说，在A点的速度矢量与车辆纵轴的夹角为 δf\delta_fδf，同样 BBB点的速度矢量与车辆纵轴的夹角为δr\delta_rδr。也就是说前后轮的滑移角β\betaβ都为0。该条件假设成立前提的是车辆速度很低(<5m/s)，此时轮胎产生的横向力很小，可以忽略。
轨迹半径 点 OOO代表车辆的瞬时旋转中心，线段 AOAOAO与BOBOBO与前后两个转轮方向垂直，他们的交点即为 OOO点，线段OCOCOC的长度代表车辆的轨迹半径RRR。
航迹角 车辆重心处的速度垂直于 OCOCOC,车辆速度矢量与车辆纵轴的夹角为β\betaβ，车辆的航向角为 ψ\psiψ，则航迹角为γ=ψ+β\gamma = \psi + \betaγ=ψ+β。
1.2 几何关系1.2.1 偏航角ψ\psiψ的关系如上图所示，在三角形OCAOCAOCA中，根据正弦定理，有： sin(δf−β)lf=sin(π2−δf)R(1)\tag{1} \frac{\sin \left(\delta_{f}-\beta\right)}{l_{f}}=\frac{\sin \left(\frac{\pi}{2}-\delta_{f}\right)}{R}lfsin(δf−β)=Rsin(2π−δf)(1)
在三角形OBCOBCOBC中，根据正弦定理，有： sin(β−δr)lr=sin(π2+δr)R(2)\tag{2} \frac{\sin \left(\beta-\delta_{r}\right)}{l_{r}}=\frac{\sin \left(\frac{\pi}{2}+\delta_{r}\right)}{R}lrsin(β−δr)=Rsin(2π+δr)(2) 展开公式(1)(2)可得: sinδfcosβ−sinβcosδflf=cosδfR(3)\tag{3} \frac{\sin \delta_{f} \cos \beta-\sin \beta \cos \delta_{f}}{l_{f}}=\frac{\cos \delta_{f}}{R}lfsinδfcosβ−sinβcosδf=Rcosδf(3) sinβcosδr−cosβsinδrlr=cosδrR(4)\tag{4} \frac{\sin \beta\cos \delta_{r} -\cos \beta \sin \delta_{r}}{l_{r}}=\frac{\cos \delta_{r}}{R}lrsinβcosδr−cosβsinδr=Rcosδr(4)
等式(3)两边同时乘 lfcos(δf)\frac{l_{f}}{\cos \left(\delta_{f}\right)}cos(δf)lf 得 tan(δf)cos(β)−sin(β)=lfR(5)\tag{5} \tan \left(\delta_{f}\right) \cos (\beta)-\sin (\beta)=\frac{l_{f}}{R}tan(δf)cos(β)−sin(β)=Rlf(5) 同理，等式(4)两边同时乘 lrcos(δr)\frac{l_{r}}{\cos \left(\delta_{r}\right)}cos(δr)lr 得 sin(β)−tan(δr)cos(β)=lrR(6)\tag{6} \sin (\beta)-\tan \left(\delta_{r}\right) \cos (\beta)=\frac{l_{r}}{R}sin(β)−tan(δr)cos(β)=Rlr(6)
联立公式(5)(6)可得： (tanδf−tanδr)cosβ=lf+lrR(7)\tag{7} \left(\tan \delta_{f}-\tan \delta_{r}\right) \cos \beta=\frac{l_{f}+l_{r}}{R}(tanδf−tanδr)cosβ=Rlf+lr(7)
根据条件假设，低速环境下，车辆行驶路径的转弯半径变化缓慢，此时我们可以假设车辆偏航角的变化率率ψ˙\dot{\psi}ψ˙可近似等于车辆的角速度ω\omegaω。根据车辆角速度ω=VR\omega = \frac{V}{R}ω=RV得 ψ˙=VR(8)\tag{8} \dot{\psi}=\frac{V}{R}ψ˙=RV(8) 将公式(8)带入公式(7)中，消除 RRR项得 ψ˙=Vcosβlf+lr(tanδf−tanδr)(9)\tag{9} \dot{\psi}=\frac{V \cos \beta}{l_{f}+l_{r}}\left(\tan \delta_{f}-\tan \delta_{r}\right)ψ˙=lf+lrVcosβ(tanδf−tanδr)(9)
1.2.1 滑移角 β\betaβ 的关系等式(5)乘以 lrl_{r}lr 得 tan(δf)cos(β)lr−sin(β)lr=lf⋅lrR(10)\tag{10} \tan \left(\delta_{f}\right) \cos (\beta) l_{r}-\sin (\beta) l_{r}=\frac{l_{f} \cdot l_{r}}{R}tan(δf)cos(β)lr−sin(β)lr=Rlf⋅lr(10) 等式(6)乘以 lfl_{f}lf 得 sin(β)lf−tan(δr)cos(β)lf=lf⋅lrR(11)\tag{11} \sin (\beta) l_{f}-\tan \left(\delta_{r}\right) \cos (\beta) l_{f}=\frac{l_{f} \cdot l_{r}}{R}sin(β)lf−tan(δr)cos(β)lf=Rlf⋅lr(11) 等式(10)和(11)相减得 cos(β)(lftan(δr)+lrtan(δf))=sin(β)(lf+lr)(12)\tag{12} \cos (\beta)\left(l_{f} \tan \left(\delta_{r}\right)+l_{r} \tan \left(\delta_{f}\right)\right)=\sin (\beta)\left(l_{f}+l_{r}\right)cos(β)(lftan(δr)+lrtan(δf))=sin(β)(lf+lr)(12) 等式(12)两端同时乘以 1cos(β)\frac{1}{\cos (\beta)}cos(β)1 得 tan(β)=lftan(δr)+lrtan(δf)lf+lr(13)\tag{13} \tan (\beta)=\frac{l_{f} \tan \left(\delta_{r}\right)+l_{r} \tan \left(\delta_{f}\right)}{l_{f}+l_{r}}tan(β)=lf+lrlftan(δr)+lrtan(δf)(13) 故取反三角函数得 β=arctan(lftan(δr)+lrtan(δf)lf+lr)(14)\tag{14} \beta=\arctan \left(\frac{l_{f} \tan \left(\delta_{r}\right)+l_{r} \tan \left(\delta_{f}\right)}{l_{f}+l_{r}}\right)β=arctan(lf+lrlftan(δr)+lrtan(δf))(14)
1.2.2 运动学模型根据上图，很容易得到x,yx,yx,y方向的速度为 x˙=Vcos(β+ψ)y˙=Vsin(β+ψ)(15)\tag{15} \begin{aligned} &\dot{x}=V \cos (\beta+\psi)\\ &\dot{y}=V \sin (\beta+\psi) \end{aligned}x˙=Vcos(β+ψ)y˙=Vsin(β+ψ)(15)
综上，以车辆重心为中心的运动学模型为
{x˙=Vcos(ψ+β)y˙=Vsin(ψ+β)ψ˙=Vcosβlf+lr(tanδf−tanδr)(16)\tag{16} \left\{\begin{array}{l} \dot{x}=V \cos (\psi+\beta) \\ \dot{y}=V \sin (\psi+\beta) \\ \dot{\psi}=\frac{V \cos \beta}{l_{f}+l_{r}}\left(\tan \delta_{f}-\tan \delta_{r}\right)\\ \end{array}\right.⎩⎨⎧x˙=Vcos(ψ+β)y˙=Vsin(ψ+β)ψ˙=lf+lrVcosβ(tanδf−tanδr)(16) 其中， β=arctan(lftan(δr)+lrtan(δf)lf+lr)\beta=\arctan \left(\frac{l_{f} \tan \left(\delta_{r}\right)+l_{r} \tan \left(\delta_{f}\right)}{l_{f}+l_{r}}\right)β=arctan(lf+lrlftan(δr)+lrtan(δf))
1.3 python 实现class KinematicModel_1: """假设控制量为前后轮的转向角delta_f，delta_r和加速度a """ def __init__(self, x, y, psi, v, l_r, l_f, dt): self.x = x self.y = y self.psi = psi self.v = v self.l_f = l_f self.l_r = l_r # 实现是离散的模型 self.dt = dt def update_state(self, a, delta_f,delta_r): beta = math.atan((self.l_r*math.tan(delta_f)+self.l_f*math.tan(delta_r))/(self.l_f+self.l_r)) self.x = self.x+self.v*math.cos(self.psi+beta)*self.dt self.y = self.y+self.v*math.sin(self.psi+beta)*self.dt self.psi = self.psi+self.v*math.cos(beta)*(math.tan(delta_f)-math.tan(delta_r))/(self.l_f+self.l_r)*self.dt self.v = self.v+a*self.dt def get_state(self): return self.x, self.y, self.psi, self.v2. 以前轮驱动的单车运动学模型2.1 几何关系由于绝大多数的汽车后轮都不能够偏转，所以在单车模型基础上，我们假定后轮的转角控制输入δr=\delta_r=0δr=0，即车辆为前轮驱动(front−wheel−only)。也就是说，方向盘上的控制输入，都反映到了前轮的转角上了，即认为方向盘的转角就等于前轮的转角δf\delta_fδf。
注意：这里依旧以车辆重心为中心。
在直角三角形OBCOBCOBC中，易得 sinβ=lrR(17)\tag{17} \sin{\beta}=\frac{l_r}{R}sinβ=Rlr(17)
将公式(8)代入公式(17)得
ψ˙=Vsinβlr(18)\tag{18} \dot{\psi}=\frac{V \sin{\beta}}{l_r}ψ˙=lrVsinβ(18)
故前轮驱动的车辆运动学模型为 {x˙=Vcos(ψ+β)y˙=Vsin(ψ+β)ψ˙=Vsinβlr(19)\tag{19} \left\{\begin{array}{l} \dot{x}=V \cos (\psi+\beta) \\ \dot{y}=V \sin (\psi+\beta) \\\dot{\psi}=\frac{V \sin{\beta}}{l_r} \end{array}\right.⎩⎨⎧x˙=Vcos(ψ+β)y˙=Vsin(ψ+β)ψ˙=lrVsinβ(19) 其中，β\betaβ的推导方式与前文一致（可直接令公式(14)的δr=\delta_r=0δr=0），可得 β=arctan(lrlf+lrtan(δf))(20)\tag{20} \beta=\arctan \left(\frac{l_{r} }{l_{f}+l_{r}}\tan \left(\delta_{f}\right)\right)β=arctan(lf+lrlrtan(δf))(20)
2.2 python实现class KinematicModel_2: """假设控制量为前轮的转向角delta_f和加速度a """ def __init__(self, x, y, psi,v,l_r,l_f,dt): self.x = x self.y = y self.psi = psi self.v = v self.l_f = l_f self.l_r = l_r # 实现是离散的模型 self.dt=dt def update_state(self,a,delta_f): beta = math.atan((self.l_r)/(self.l_f+self.l_r)*math.tan(delta_f)) self.x = self.x+self.v*math.cos(self.psi+beta)*self.dt self.y = self.y+self.v*math.sin(self.psi+beta)*self.dt self.psi = self.psi+self.v*math.sin(beta)/self.l_r*self.dt self.v = self.v+a*self.dt def get_state(self): return self.x, self.y, self.psi, self.v3. 以后轴中心为车辆中心的单车运动学模型3.1 几何关系在直角三角形OBAOBAOBA中，显然有 tanδf=LR(21)\tag{21} \tan{\delta_f}=\frac{L}{R}tanδf=RL(21)
联立公式(7)，可得： ψ˙=VLtanδf\dot{\psi}=\frac{V}{L}\tan{\delta_f}ψ˙=LVtanδf
另外，根据几何关系，显然有
x˙=Vcos(ψ)y˙=Vsin(ψ)\dot{x}=V \cos (\psi) \\ \dot{y}=V \sin (\psi)x˙=Vcos(ψ)y˙=Vsin(ψ)
因此，以后轴中心为车辆中心的运动学模型为
{x˙=Vcos(ψ)y˙=Vsin(ψ)ψ˙=VLtanδf(22)\tag{22} \left\{\begin{array}{l} \dot{x}=V \cos (\psi) \\ \dot{y}=V \sin (\psi) \\ \dot{\psi}=\frac{V}{L}\tan{\delta_f} \end{array}\right.⎩⎨⎧x˙=Vcos(ψ)y˙=Vsin(ψ)ψ˙=LVtanδf(22)
如果使用车辆的加速度aaa作为 控制，则再加上下面这个公式即可 V˙=a(23)\tag{23} \dot{V}=aV˙=a(23)
但在无人车控制过程中，一般控制对象 u=[v,w]Tu=\left[v, w\right]^{T}u=[v,w]T ，则式(22)可写为: [x˙y˙ψ˙]=[cosψsinψ]v+[1]w\left[\begin{array}{c} \dot{x}\\ \dot{y} \\ \dot{\psi} \end{array}\right]=\left[\begin{array}{c} \cos \psi \\ \sin \psi \\ 0 \end{array}\right] v+\left[\begin{array}{l} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array}\right] w⎣⎡x˙y˙ψ˙⎦⎤=⎣⎡cosψsinψ0⎦⎤v+⎣⎡001⎦⎤w
速度 vvv 的控制主要通过刹车 (brake) 、油门 (throttle) 、档位 (gear) 等来控制，横摆角速度 www主要通过转动方向盘 (steer) 来 控制。
3.2 python实现class KinematicModel_3: """假设控制量为转向角delta_f和加速度a """ def __init__(self, x, y, psi,v,L,dt): self.x = x self.y = y self.psi = psi self.v = v self.L = L # 实现是离散的模型 self.dt=dt def update_state(self,a,delta_f): self.x = self.x+self.v*math.cos(self.psi)*self.dt self.y = self.y+self.v*math.sin(self.psi)*self.dt self.psi = self.psi+self.v/self.L*math.tan(delta_f)*self.dt self.v = self.v+a*self.dt def get_state(self): return self.x, self.y, self.psi, self.v所有实现代码欢迎访问我的github仓库，正在持续更新中~~
4. 阿克曼转向几何汽车采用阿克曼转向轮。阿克曼转向几何(Ackerman Turning Geometry)是一种为了解决交通工具转弯时，内外转向轮路径指向的圆心不同的几何学。
在单车模型中，将转向时左、右前轮偏角假设为同一角度δf\delta_fδf，虽然通常两个角度大致相等，但实际并不是，通常情况下，内侧轮胎转角更大。如下图所示。
δo\delta_{o}δo 和 δi\delta_{i}δi 分别为外侧前轮和内侧前轮偏角，当车辆左转时，左前轮胎为内侧轮胎，其转角 δi\delta_{i}δi 较 右前轮胎转角 δo\delta_{o}δo 更大。 lwl_{w}lw 为轮距， L=lf+lrL=l_f+l_rL=lf+lr 为轴距，远远小于轨迹半径RRR，滑移角β\betaβ接近于0。一般车辆模型后轴为固定轴，故后轮两轮胎转角为 ∘0^{\circ}0∘，即δr\delta_rδr为0 。
当以后轴中心为参考点时，则OBOBOB为转向半径R。
当滑移角β\betaβ很小时，且后轮偏角为0时，公式(9)可近似为
ψ˙≈VLtan(δf)(24)\tag{24} \dot{\psi}\approx \frac{V}{L} \tan \left(\delta_{f}\right)ψ˙≈LVtan(δf)(24) 由于 δf\delta_{f}δf 很小 tan(δf)≈δf(25)\tag{25} \tan \left(\delta_{f}\right) \approx \delta_{f}tan(δf)≈δf(25) 根据公式(8)和公式(24)得 ψ˙V≈δfL=1R(26)\tag{26} \frac{\dot{\psi}}{V} \approx \frac{\delta_{f}}{L}=\frac{1}{R}Vψ˙≈Lδf=R1(26) 故不区分前后轴，等效转向角为 δ=LR(27)\tag{27} \delta=\frac{L}{R}δ=RL(27) 由于内外轮的转弯半径不同，根据公式(27), 外轮转角为 δo=LR+lw2(28)\tag{28} \delta_{o}=\frac{L}{R+\frac{l_{w}}{2}}δo=R+2lwL(28)
内轮转角为 δi=LR−lw2(29)\tag{29} \delta_{i}=\frac{L}{R-\frac{l_{w}}{2}}δi=R−2lwL(29) 故前轮平均转向角为 δ=δo+δi2=LR−lw24R(30)\tag{30} \delta=\frac{\delta_{o}+\delta_{i}}{2}=\frac{L}{R-\frac{l_{w}^{2}}{4 R}}δ=2δo+δi=R−4Rlw2L(30) 由于 lw24R\frac{l_{w}^{2}}{4 R}4Rlw2 项中， lwl_{w}lw 远远小于 RRR, 且 lwl_{w}lw 的二次项更小，故 lw24R≅(31)\tag{31} \frac{l_{w}^{2}}{4 R} \cong 04Rlw2≅0(31) 所以等式(30)可以近似为 δ=LR(32)\tag{32} \delta=\frac{L}{R}δ=RL(32) 比较等式(28)和(29)知， δi\delta_{i}δi 始终大于 δo\delta_{o}δo ，故 δi−δo=LR−lw2−LR+lw2=LlwR2−lw24≅LR2lw=δ2lwL(33)\tag{33} \begin{aligned} \delta_{i}-\delta_{o} &=\frac{L}{R-\frac{l_{w}}{2}}-\frac{L}{R+\frac{l_{w}}{2}} \\ &=\frac{L l_{w}}{R^{2}-\frac{l_{w}^{2}}{4}} \\ & \cong \frac{L}{R^{2}} l_{w}=\delta^{2} \frac{l_{w}}{L} \end{aligned}δi−δo=R−2lwL−R+2lwL=R2−4lw2Llw≅R2Llw=δ2Llw(33) 根据公式(33)可知，前轮内外转向角的差值接近于平均转向角的二次方，所以当前轮转向角较大时， 内外轮的转向角误差就越大。
依据阿克曼转向几何设计的车辆，沿着弯道转弯时，利用四连杆的相等曲柄使内侧轮的转向角比外侧轮大大约2~4度，使四个轮子路径的圆心大致上交会于后轴的延长线上瞬时转向中心，让车辆可以顺畅的转弯。
车辆运动模型基于单车模型推导，推导过程不考虑车辆受到的横向力，故该模型只适用于车辆速度很低的情形。 a=mV2R(34)\tag{34} a=\frac{m V^{2}}{R}a=RmV2(34) 根据公式(34)知，速度很小时，车辆受到的向心力可以忽略不记，所以才有公式(8)的成立。所以当车辆的运动场景速度较低时，可以使用该模型描述车辆的运动。
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