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【自动驾驶】车辆运动学模型(自动驾驶车祸)

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【自动驾驶】车辆运动学模型 文章目录参考资料1. 以车辆重心为中心的单车运动学模型1.1 参数说明1.2 几何关系1.2.1 偏航角ψ\psiψ的关系1.2.1 滑移角 β\betaβ 的关系1.2.2 运动学模型1.3 python 实现2. 以前轮驱动的单车运动学模型2.1 几何关系2.2 python实现3. 以后轴中心为车辆中心的单车运动学模型3.1 几何关系3.2 python实现4. 阿克曼转向几何参考资料自动驾驶中的车辆运动学模型车辆数学模型车辆运动学模型车辆控制-运动学模型(Kinematic Model)运动学模型及其线性化

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模型的用处就是在当前状态给定某控制输入时,预测(估计) 系统未来的状态。控制领域利用模型设计合适的输入,以期控制系统到达目标状态。

1. 以车辆重心为中心的单车运动学模型1.1 参数说明

一般考虑运动学模型时,将车辆模型简化成单车模型(bicycle model)。

单车模型中:

左右轮等效为单个轮子 左右前轮合并为单个轮子,其中心点为A点,同样后轮等效后的中心点为 B点。

转向角 前后轮的转向角用δf\delta_fδf​​和δr\delta_rδr​​表示,模型中前后轮都可以转向,对于只有前轮转向的系统,后轮转向角δr\delta_rδr​可以设置为0.

重心 点 C 代表车辆的重心, A 点和 B点到重心的距离分别用 lfl_flf​和 lrl_rlr​​表示,轴距表示为L=lf+lrL = l_f + l_rL=lf​+lr​。

速度 车辆重心的速度用VVV表示,与车辆纵向轴的夹角为β\betaβ,该角度叫做车辆的滑移角。

运动描述 假设车辆平动,车辆运动状态可以用三个坐标量描述: xxx 、yyy 和 ψ\psiψ。其中(x,y)(x,y)(x,y)代表车辆的位置,ψ\psiψ描述的是航向角(Heading Angle),指车身与X轴的夹角。

条件假设 假设速度矢量VVV的方向在点AAA点和BBB点的方向与转向角的方向相同,换句话说,在A点的速度矢量与车辆纵轴的夹角为 δf\delta_fδf​,同样 BBB点的速度矢量与车辆纵轴的夹角为δr\delta_rδr​。也就是说前后轮的滑移角β\betaβ都为0。该条件假设成立前提的是车辆速度很低(<5m/s),此时轮胎产生的横向力很小,可以忽略。

轨迹半径 点 OOO代表车辆的瞬时旋转中心,线段 AOAOAO与BOBOBO与前后两个转轮方向垂直,他们的交点即为 OOO点,线段OCOCOC的长度代表车辆的轨迹半径RRR。

航迹角 车辆重心处的速度垂直于 OCOCOC,车辆速度矢量与车辆纵轴的夹角为β\betaβ,车辆的航向角为 ψ\psiψ,则航迹角为γ=ψ+β\gamma = \psi + \betaγ=ψ+β。

1.2 几何关系1.2.1 偏航角ψ\psiψ的关系

如上图所示,在三角形OCAOCAOCA中,根据正弦定理,有: sin⁡(δf−β)lf=sin⁡(π2−δf)R(1)\tag{1} \frac{\sin \left(\delta_{f}-\beta\right)}{l_{f}}=\frac{\sin \left(\frac{\pi}{2}-\delta_{f}\right)}{R}lf​sin(δf​−β)​=Rsin(2π​−δf​)​(1)

在三角形OBCOBCOBC中,根据正弦定理,有: sin⁡(β−δr)lr=sin⁡(π2+δr)R(2)\tag{2} \frac{\sin \left(\beta-\delta_{r}\right)}{l_{r}}=\frac{\sin \left(\frac{\pi}{2}+\delta_{r}\right)}{R}lr​sin(β−δr​)​=Rsin(2π​+δr​)​(2) 展开公式(1)(2)可得: sin⁡δfcos⁡β−sin⁡βcos⁡δflf=cos⁡δfR(3)\tag{3} \frac{\sin \delta_{f} \cos \beta-\sin \beta \cos \delta_{f}}{l_{f}}=\frac{\cos \delta_{f}}{R}lf​sinδf​cosβ−sinβcosδf​​=Rcosδf​​(3) sin⁡βcos⁡δr−cos⁡βsin⁡δrlr=cos⁡δrR(4)\tag{4} \frac{\sin \beta\cos \delta_{r} -\cos \beta \sin \delta_{r}}{l_{r}}=\frac{\cos \delta_{r}}{R}lr​sinβcosδr​−cosβsinδr​​=Rcosδr​​(4)

等式(3)两边同时乘 lfcos⁡(δf)\frac{l_{f}}{\cos \left(\delta_{f}\right)}cos(δf​)lf​​ 得 tan⁡(δf)cos⁡(β)−sin⁡(β)=lfR(5)\tag{5} \tan \left(\delta_{f}\right) \cos (\beta)-\sin (\beta)=\frac{l_{f}}{R}tan(δf​)cos(β)−sin(β)=Rlf​​(5) 同理,等式(4)两边同时乘 lrcos⁡(δr)\frac{l_{r}}{\cos \left(\delta_{r}\right)}cos(δr​)lr​​ 得 sin⁡(β)−tan⁡(δr)cos⁡(β)=lrR(6)\tag{6} \sin (\beta)-\tan \left(\delta_{r}\right) \cos (\beta)=\frac{l_{r}}{R}sin(β)−tan(δr​)cos(β)=Rlr​​(6)

联立公式(5)(6)可得: (tan⁡δf−tan⁡δr)cos⁡β=lf+lrR(7)\tag{7} \left(\tan \delta_{f}-\tan \delta_{r}\right) \cos \beta=\frac{l_{f}+l_{r}}{R}(tanδf​−tanδr​)cosβ=Rlf​+lr​​(7)

根据条件假设,低速环境下,车辆行驶路径的转弯半径变化缓慢,此时我们可以假设车辆偏航角的变化率率ψ˙\dot{\psi}ψ˙​可近似等于车辆的角速度ω\omegaω。根据车辆角速度ω=VR\omega = \frac{V}{R}ω=RV​得 ψ˙=VR(8)\tag{8} \dot{\psi}=\frac{V}{R}ψ˙​=RV​(8) 将公式(8)带入公式(7)中,消除 RRR项得 ψ˙=Vcos⁡βlf+lr(tan⁡δf−tan⁡δr)(9)\tag{9} \dot{\psi}=\frac{V \cos \beta}{l_{f}+l_{r}}\left(\tan \delta_{f}-\tan \delta_{r}\right)ψ˙​=lf​+lr​Vcosβ​(tanδf​−tanδr​)(9)

1.2.1 滑移角 β\betaβ 的关系

等式(5)乘以 lrl_{r}lr​ 得 tan⁡(δf)cos⁡(β)lr−sin⁡(β)lr=lf⋅lrR(10)\tag{10} \tan \left(\delta_{f}\right) \cos (\beta) l_{r}-\sin (\beta) l_{r}=\frac{l_{f} \cdot l_{r}}{R}tan(δf​)cos(β)lr​−sin(β)lr​=Rlf​⋅lr​​(10) 等式(6)乘以 lfl_{f}lf​ 得 sin⁡(β)lf−tan⁡(δr)cos⁡(β)lf=lf⋅lrR(11)\tag{11} \sin (\beta) l_{f}-\tan \left(\delta_{r}\right) \cos (\beta) l_{f}=\frac{l_{f} \cdot l_{r}}{R}sin(β)lf​−tan(δr​)cos(β)lf​=Rlf​⋅lr​​(11) 等式(10)和(11)相减得 cos⁡(β)(lftan⁡(δr)+lrtan⁡(δf))=sin⁡(β)(lf+lr)(12)\tag{12} \cos (\beta)\left(l_{f} \tan \left(\delta_{r}\right)+l_{r} \tan \left(\delta_{f}\right)\right)=\sin (\beta)\left(l_{f}+l_{r}\right)cos(β)(lf​tan(δr​)+lr​tan(δf​))=sin(β)(lf​+lr​)(12) 等式(12)两端同时乘以 1cos⁡(β)\frac{1}{\cos (\beta)}cos(β)1​ 得 tan⁡(β)=lftan⁡(δr)+lrtan⁡(δf)lf+lr(13)\tag{13} \tan (\beta)=\frac{l_{f} \tan \left(\delta_{r}\right)+l_{r} \tan \left(\delta_{f}\right)}{l_{f}+l_{r}}tan(β)=lf​+lr​lf​tan(δr​)+lr​tan(δf​)​(13) 故取反三角函数得 β=arctan⁡(lftan⁡(δr)+lrtan⁡(δf)lf+lr)(14)\tag{14} \beta=\arctan \left(\frac{l_{f} \tan \left(\delta_{r}\right)+l_{r} \tan \left(\delta_{f}\right)}{l_{f}+l_{r}}\right)β=arctan(lf​+lr​lf​tan(δr​)+lr​tan(δf​)​)(14)

1.2.2 运动学模型

根据上图,很容易得到x,yx,yx,y方向的速度为 x˙=Vcos⁡(β+ψ)y˙=Vsin⁡(β+ψ)(15)\tag{15} \begin{aligned} &\dot{x}=V \cos (\beta+\psi)\\ &\dot{y}=V \sin (\beta+\psi) \end{aligned}​x˙=Vcos(β+ψ)y˙​=Vsin(β+ψ)​(15)

综上,以车辆重心为中心的运动学模型为

{x˙=Vcos⁡(ψ+β)y˙=Vsin⁡(ψ+β)ψ˙=Vcos⁡βlf+lr(tan⁡δf−tan⁡δr)(16)\tag{16} \left\{\begin{array}{l} \dot{x}=V \cos (\psi+\beta) \\ \dot{y}=V \sin (\psi+\beta) \\ \dot{\psi}=\frac{V \cos \beta}{l_{f}+l_{r}}\left(\tan \delta_{f}-\tan \delta_{r}\right)\\ \end{array}\right.⎩⎨⎧​x˙=Vcos(ψ+β)y˙​=Vsin(ψ+β)ψ˙​=lf​+lr​Vcosβ​(tanδf​−tanδr​)​(16) 其中, β=arctan⁡(lftan⁡(δr)+lrtan⁡(δf)lf+lr)\beta=\arctan \left(\frac{l_{f} \tan \left(\delta_{r}\right)+l_{r} \tan \left(\delta_{f}\right)}{l_{f}+l_{r}}\right)β=arctan(lf​+lr​lf​tan(δr​)+lr​tan(δf​)​)

1.3 python 实现class KinematicModel_1: """假设控制量为前后轮的转向角delta_f,delta_r和加速度a """ def __init__(self, x, y, psi, v, l_r, l_f, dt): self.x = x self.y = y self.psi = psi self.v = v self.l_f = l_f self.l_r = l_r # 实现是离散的模型 self.dt = dt def update_state(self, a, delta_f,delta_r): beta = math.atan((self.l_r*math.tan(delta_f)+self.l_f*math.tan(delta_r))/(self.l_f+self.l_r)) self.x = self.x+self.v*math.cos(self.psi+beta)*self.dt self.y = self.y+self.v*math.sin(self.psi+beta)*self.dt self.psi = self.psi+self.v*math.cos(beta)*(math.tan(delta_f)-math.tan(delta_r))/(self.l_f+self.l_r)*self.dt self.v = self.v+a*self.dt def get_state(self): return self.x, self.y, self.psi, self.v2. 以前轮驱动的单车运动学模型2.1 几何关系

由于绝大多数的汽车后轮都不能够偏转,所以在单车模型基础上,我们假定后轮的转角控制输入δr=\delta_r=0δr​=0,即车辆为前轮驱动(front−wheel−only)。也就是说,方向盘上的控制输入,都反映到了前轮的转角上了,即认为方向盘的转角就等于前轮的转角δf\delta_fδf​。

【自动驾驶】车辆运动学模型(自动驾驶车祸)

注意:这里依旧以车辆重心为中心。

在直角三角形OBCOBCOBC中,易得 sin⁡β=lrR(17)\tag{17} \sin{\beta}=\frac{l_r}{R}sinβ=Rlr​​(17)

将公式(8)代入公式(17)得

ψ˙=Vsin⁡βlr(18)\tag{18} \dot{\psi}=\frac{V \sin{\beta}}{l_r}ψ˙​=lr​Vsinβ​(18)

故前轮驱动的车辆运动学模型为 {x˙=Vcos⁡(ψ+β)y˙=Vsin⁡(ψ+β)ψ˙=Vsin⁡βlr(19)\tag{19} \left\{\begin{array}{l} \dot{x}=V \cos (\psi+\beta) \\ \dot{y}=V \sin (\psi+\beta) \\\dot{\psi}=\frac{V \sin{\beta}}{l_r} \end{array}\right.⎩⎨⎧​x˙=Vcos(ψ+β)y˙​=Vsin(ψ+β)ψ˙​=lr​Vsinβ​​(19) 其中,β\betaβ的推导方式与前文一致(可直接令公式(14)的δr=\delta_r=0δr​=0),可得 β=arctan⁡(lrlf+lrtan⁡(δf))(20)\tag{20} \beta=\arctan \left(\frac{l_{r} }{l_{f}+l_{r}}\tan \left(\delta_{f}\right)\right)β=arctan(lf​+lr​lr​​tan(δf​))(20)

2.2 python实现class KinematicModel_2: """假设控制量为前轮的转向角delta_f和加速度a """ def __init__(self, x, y, psi,v,l_r,l_f,dt): self.x = x self.y = y self.psi = psi self.v = v self.l_f = l_f self.l_r = l_r # 实现是离散的模型 self.dt=dt def update_state(self,a,delta_f): beta = math.atan((self.l_r)/(self.l_f+self.l_r)*math.tan(delta_f)) self.x = self.x+self.v*math.cos(self.psi+beta)*self.dt self.y = self.y+self.v*math.sin(self.psi+beta)*self.dt self.psi = self.psi+self.v*math.sin(beta)/self.l_r*self.dt self.v = self.v+a*self.dt def get_state(self): return self.x, self.y, self.psi, self.v3. 以后轴中心为车辆中心的单车运动学模型

3.1 几何关系

在直角三角形OBAOBAOBA中,显然有 tan⁡δf=LR(21)\tag{21} \tan{\delta_f}=\frac{L}{R}tanδf​=RL​(21)

联立公式(7),可得: ψ˙=VLtan⁡δf\dot{\psi}=\frac{V}{L}\tan{\delta_f}ψ˙​=LV​tanδf​

另外,根据几何关系,显然有

x˙=Vcos⁡(ψ)y˙=Vsin⁡(ψ)\dot{x}=V \cos (\psi) \\ \dot{y}=V \sin (\psi)x˙=Vcos(ψ)y˙​=Vsin(ψ)

因此,以后轴中心为车辆中心的运动学模型为

{x˙=Vcos⁡(ψ)y˙=Vsin⁡(ψ)ψ˙=VLtan⁡δf(22)\tag{22} \left\{\begin{array}{l} \dot{x}=V \cos (\psi) \\ \dot{y}=V \sin (\psi) \\ \dot{\psi}=\frac{V}{L}\tan{\delta_f} \end{array}\right.⎩⎨⎧​x˙=Vcos(ψ)y˙​=Vsin(ψ)ψ˙​=LV​tanδf​​(22)

如果使用车辆的加速度aaa作为 控制,则再加上下面这个公式即可 V˙=a(23)\tag{23} \dot{V}=aV˙=a(23)

但在无人车控制过程中,一般控制对象 u=[v,w]Tu=\left[v, w\right]^{T}u=[v,w]T ,则式(22)可写为: [x˙y˙ψ˙]=[cos⁡ψsin⁡ψ]v+[1]w\left[\begin{array}{c} \dot{x}\\ \dot{y} \\ \dot{\psi} \end{array}\right]=\left[\begin{array}{c} \cos \psi \\ \sin \psi \\ 0 \end{array}\right] v+\left[\begin{array}{l} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array}\right] w⎣⎡​x˙y˙​ψ˙​​⎦⎤​=⎣⎡​cosψsinψ0​⎦⎤​v+⎣⎡​001​⎦⎤​w

速度 vvv 的控制主要通过刹车 (brake) 、油门 (throttle) 、档位 (gear) 等来控制,横摆角速度 www主要通过转动方向盘 (steer) 来 控制。

3.2 python实现class KinematicModel_3: """假设控制量为转向角delta_f和加速度a """ def __init__(self, x, y, psi,v,L,dt): self.x = x self.y = y self.psi = psi self.v = v self.L = L # 实现是离散的模型 self.dt=dt def update_state(self,a,delta_f): self.x = self.x+self.v*math.cos(self.psi)*self.dt self.y = self.y+self.v*math.sin(self.psi)*self.dt self.psi = self.psi+self.v/self.L*math.tan(delta_f)*self.dt self.v = self.v+a*self.dt def get_state(self): return self.x, self.y, self.psi, self.v

所有实现代码欢迎访问我的github仓库,正在持续更新中~~

4. 阿克曼转向几何

汽车采用阿克曼转向轮。阿克曼转向几何(Ackerman Turning Geometry)是一种为了解决交通工具转弯时,内外转向轮路径指向的圆心不同的几何学。

在单车模型中,将转向时左、右前轮偏角假设为同一角度δf\delta_fδf​,虽然通常两个角度大致相等,但实际并不是,通常情况下,内侧轮胎转角更大。如下图所示。

δo\delta_{o}δo​ 和 δi\delta_{i}δi​ 分别为外侧前轮和内侧前轮偏角,当车辆左转时,左前轮胎为内侧轮胎,其转角 δi\delta_{i}δi​ 较 右前轮胎转角 δo\delta_{o}δo​ 更大。 lwl_{w}lw​ 为轮距, L=lf+lrL=l_f+l_rL=lf​+lr​ 为轴距,远远小于轨迹半径RRR,滑移角β\betaβ接近于0。一般车辆模型后轴为固定轴,故后轮两轮胎转角为 ∘0^{\circ}0∘,即δr\delta_rδr​为0 。

当以后轴中心为参考点时,则OBOBOB为转向半径R。

当滑移角β\betaβ很小时,且后轮偏角为0时,公式(9)可近似为

ψ˙≈VLtan⁡(δf)(24)\tag{24} \dot{\psi}\approx \frac{V}{L} \tan \left(\delta_{f}\right)ψ˙​≈LV​tan(δf​)(24) 由于 δf\delta_{f}δf​ 很小 tan⁡(δf)≈δf(25)\tag{25} \tan \left(\delta_{f}\right) \approx \delta_{f}tan(δf​)≈δf​(25) 根据公式(8)和公式(24)得 ψ˙V≈δfL=1R(26)\tag{26} \frac{\dot{\psi}}{V} \approx \frac{\delta_{f}}{L}=\frac{1}{R}Vψ˙​​≈Lδf​​=R1​(26) 故不区分前后轴,等效转向角为 δ=LR(27)\tag{27} \delta=\frac{L}{R}δ=RL​(27) 由于内外轮的转弯半径不同,根据公式(27), 外轮转角为 δo=LR+lw2(28)\tag{28} \delta_{o}=\frac{L}{R+\frac{l_{w}}{2}}δo​=R+2lw​​L​(28)

内轮转角为 δi=LR−lw2(29)\tag{29} \delta_{i}=\frac{L}{R-\frac{l_{w}}{2}}δi​=R−2lw​​L​(29) 故前轮平均转向角为 δ=δo+δi2=LR−lw24R(30)\tag{30} \delta=\frac{\delta_{o}+\delta_{i}}{2}=\frac{L}{R-\frac{l_{w}^{2}}{4 R}}δ=2δo​+δi​​=R−4Rlw2​​L​(30) 由于 lw24R\frac{l_{w}^{2}}{4 R}4Rlw2​​ 项中, lwl_{w}lw​ 远远小于 RRR, 且 lwl_{w}lw​ 的二次项更小,故 lw24R≅(31)\tag{31} \frac{l_{w}^{2}}{4 R} \cong 04Rlw2​​≅0(31) 所以等式(30)可以近似为 δ=LR(32)\tag{32} \delta=\frac{L}{R}δ=RL​(32) 比较等式(28)和(29)知, δi\delta_{i}δi​ 始终大于 δo\delta_{o}δo​ ,故 δi−δo=LR−lw2−LR+lw2=LlwR2−lw24≅LR2lw=δ2lwL(33)\tag{33} \begin{aligned} \delta_{i}-\delta_{o} &=\frac{L}{R-\frac{l_{w}}{2}}-\frac{L}{R+\frac{l_{w}}{2}} \\ &=\frac{L l_{w}}{R^{2}-\frac{l_{w}^{2}}{4}} \\ & \cong \frac{L}{R^{2}} l_{w}=\delta^{2} \frac{l_{w}}{L} \end{aligned}δi​−δo​​=R−2lw​​L​−R+2lw​​L​=R2−4lw2​​Llw​​≅R2L​lw​=δ2Llw​​​(33) 根据公式(33)可知,前轮内外转向角的差值接近于平均转向角的二次方,所以当前轮转向角较大时, 内外轮的转向角误差就越大。

依据阿克曼转向几何设计的车辆,沿着弯道转弯时,利用四连杆的相等曲柄使内侧轮的转向角比外侧轮大大约2~4度,使四个轮子路径的圆心大致上交会于后轴的延长线上瞬时转向中心,让车辆可以顺畅的转弯。

车辆运动模型基于单车模型推导,推导过程不考虑车辆受到的横向力,故该模型只适用于车辆速度很低的情形。 a=mV2R(34)\tag{34} a=\frac{m V^{2}}{R}a=RmV2​(34) 根据公式(34)知,速度很小时,车辆受到的向心力可以忽略不记,所以才有公式(8)的成立。所以当车辆的运动场景速度较低时,可以使用该模型描述车辆的运动。

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