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DTFT和DFT有何区别？一文为你讲解清楚(dtft与dfs)

发布时间：2024-01-12

DTFT和DFT有何区别？一文为你讲解清楚

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很多人在开始学习数字信号处理的时候，对于各种傅里叶变换特别是离散傅里叶变化的概念及作用完全不清楚，IC修真院在网上整理了关于DTFT、DFT的各知识点。下面就来了解一下关于DTFT和DFT的区别吧。

DTFT， DFT 的区别是含义不同、性质不同、用途不同。

1、含义不同：DTFT是离散时间傅里叶变换，DFT是离散傅里叶变换。 2、性质不同：DTFT变换后的图形中的频率是一般连续的（cos（wn）等这样的特殊函数除外，其变换后是冲击串），而DFT是DTFT的等间隔抽样，是离散的点。 3、用途不同：DFT完全是应计算机技术的发展而来的，因为如果没有计算机，用DTFT分析看频率响应就可以，为了适应计算机计算，那么就必须要用离散的值，因为计算机不能处理连续的值。

DTFT与 DFT

1、DTFT是离散时间傅里叶变换，DFT是离散傅里叶变换。 2、DTFT变换后的图形中的频率是一般连续的（cos(wn)等这样的特殊函数除外，其变换后是冲击串)，而DFT是DTFT的等间隔抽样，是离散的点。从表示中可以看出，其函数表示为X(k）,而DTFT的函数表示为X(exp(jw))。（这里主要突出DFT是DTFT的等间隔抽样，DTFT变化后的频率响应一般是连续的，DFT变换后的频率响应是离散的） 3、DTFT是以2pi为周期的。而DFT的序列X(k）是有限长的。 4、DTFT是以复指数序列{exp（-jwn）}的加权和来表示的，而DFT是等间隔抽样，既然是等间隔，那么间隔是多少呢？DFT里面有个重要的参数就是N，我们一般都会说，多少点DFT运算，这个点就是N(离散序列的长度)，抽样间隔就是将单位元分成N个间隔来抽样，绕圆一周，（2pi）/N是间隔（这个应该很明显吧，一个圆周是2pi，分成N个等分，就像我们生日的时候切蛋糕一样）。 5、DTFT和DFT都能表征原序列的信息。因为现在计算主要使用计算机，必需要是离散的值才能参与运算，因此在工程中DFT应用比较广泛，DFT还有一个快速算法，那就是FFT。

DTFT是给⼈⽤的，DFT是给机器⽤的，DFT是对DTFT的频域采样。说DFT之前，我们先回忆⼀下以往的⼏种傅⾥叶变换。

1、连续时间周期信号:处理时间连续并且具有周期性的信号，其频域上离散，⾮周期。 2、连续时间⾮周期信号:处理时间连续但是不具有周期性的信号，其频域上连续，⾮周期。 3、离散时间⾮周期信号:处理时间离散，不具有周期性的信号，其频域上连续，有周期性。 4、离散时间周期信号:处理时间离散，具有周期性的信号，其频域上离散，有周期性。从理论上来说，这四种变换已经囊括了我们能遇到的信号种类了，那么为什么要额外引⼊DFT？从形式上看，DFT与离散时间周期信号的变换⾮常类似，有何原因？

⾸先，我们注意到在数字信号处理⾥⾯，我们接触的都是离散时间的信号，所以前两种连续时间的傅⾥叶变换在我们这⼉⽤不到。另外，数字信号处理的⼀个要点就是讨论对数字信号的处理⽅式和算法设计，这⾥所说的处理⽅式不仅仅是⼈⼯的、解析的处理⽅式，更是机器能⽤的处理⽅式。机器的局限性在哪呢？

机器不能表达⼀个⽆限⻓的序列，也不能表达连续的频域特征。对于⼀般的离散时间信号⽽⾔，直接⽤DTFT确实很好，⾮常便于我们分析信号的频域特征，但问题是这⼀套机器是⽤不了的。因此我们才需要DFT，也就是说DTFT是给⼈⽤的，⽽DFT是给机器⽤的。

所谓DFT的引⼊，我认为主要可以分为两点，⼀点是截断，另⼀点是(频域)采样。需要截断，是因为机器⽆法表示⽆限⻓的序列，只能处理有限⻓序列，这⼀点⽐较好理解。关于采样，是理解DFT的重点。我们前⾯提到离散⾮周期序列的傅⾥叶变换(DTFT)在频域上是连续的，这连续的频域特征机器是⽆法表达的，因此我们需要对它进⾏采样。

⼜由于频域上具有周期性，只需要对2pi⻓度的区间采样即可。那么应该采多少个点呢？类似于Nyquist采样定理的做法，我们得出采样的点数M≥N即可(N表示该序列的⻓度)，为了⽅便起⻅只需取M=N。由此，DFT的两个引⼊动机就清楚了:它是对⽆限⻓序列截断成有限⻓序列，进⾏DTFT以后再在频域

那么为何DFT的形式和离散时间周期信号的傅⾥叶变换形式类似呢？注意到，有限⻓序列经过周期延拓即可变为周期信号，因此他们之间的相似性也不⾔⽽喻了。不过需要注意的是DFT对有限⻓序列均可以⽤，但离散时间周期信号的傅⾥叶变换只能处理周期信号，这是本质的不同。