如何用Python求解微分方程组(如何用python求解航天器追逃博弈)

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scipy文档中将odeint函数和ode, comples_ode这两个类称为旧API，是scipy早期使用的微分方程求解器，但由于是Fortran实现的，尽管使用起来并不方便，但速度没得说，所以有的时候还挺推荐使用的。

其中，odeint的参数如下

scipy.integrate.odeint(func, y0, t, args=(), Dfun=None, col_deriv=0, full_output=0, ml=None, mu=None, rtol=None, atol=None, tcrit=None, h0=0.0, hmax=0.0, hmin=0.0, ixpr=0, mxstep=0, mxhnil=0, mxordn=12, mxords=5, printmessg=0, tfirst=False)

其中func为待求解函数；y0为初值；t为自变量列表，其他参数都有默认选项，可以不填，而且这些参数非常多，其中常用的有

args func中除了t之外的其他变量Dfun func的梯度函数，当此参数不为None时，若将col_deriv设为True，则可提升效率。full_output 如果为True，则额外返回一个参数字典ml=None, mu=None, rtol=None, atol=None, tcrit=None, h0=0.0, hmax=0.0, hmin=0.0, ixpr=0, mxstep=0, mxhnil=0, mxordn=12, mxords=5,printmessg 为True时打印信息。tfirst 当为False时，func的格式为func(y,t...)，否则格式为func(t, y...)示例

对于常微分方程

θ′′(t)+bθ′(t)+csin⁡θ(t)=b=0.25;c=5θ()=π−0.1;θ′()=\theta''(t)+b\theta'(t)+c\sin\theta(t)=0\\ b=0.25;\quad c=5\\ \theta(0)=\pi-0.1;\quad \theta'(0)=0θ′′(t)+bθ′(t)+csinθ(t)=0b=0.25;c=5θ(0)=π−0.1;θ′(0)=0

将其中的二阶导数项用一个新变量替代，ω(t)=θ′(t)\omega(t)=\theta'(t)ω(t)=θ′(t)，则常微分方程可拆分成微分方程组

θ′(t)=ω(t)ω′(t)=−bω(t)−csin⁡θ(t)\begin{aligned} \theta'(t)&=\omega(t)\\ \omega'(t)&=-b\omega(t)-c\sin\theta(t) \end{aligned}θ′(t)ω′(t)​=ω(t)=−bω(t)−csinθ(t)​

令y=[θ,ω]y=[\theta, \omega]y=[θ,ω]，则y′=[θ′,ω′]y'=[\theta', \omega']y′=[θ′,ω′]，据此可设计函数func

import numpy as npdef pend(y, t, b, c): th, om = y dydt = [om, -b*om - c*np.sin(th)] return dydt

然后调用并求解

from scipy.integrate import odeinty0 = [np.pi-0.1, 0]t = np.linspace(0, 10, 101)sol = odeint(pend, y0, t, args=(0.25, 5))

然后绘制一下结果

import matplotlib.pyplot as pltplt.plot(t, sol[:,0], label="theta")plt.plot(t, sol[:,1], label="omega")plt.legend()plt.show()

这个形状还是比较离奇的。