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【自动驾驶】模型预测控制(MPC)实现轨迹跟踪(自动驾驶 模块)
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模型预测控制（MPC）的核心思想就是以优化方法求解最优控制器，其中优化方法大多时候采用二次规划（Quadratic Programming）。
MPC控制器优化得到的控制输出也是系统在未来有限时间步的控制序列。 当然，由于理论构建的模型与系统真实模型都有误差，所以，实际上更远未来的控制输出对系统控制的价值很低，故MPC仅执行输出序列中的第一个控制输出。
模型(Model)
分为机理模型和基于数据的模型（例如用神经网络训练的一个model）使用基于数据的模型的MPC可以结合model based RL使用。
预测(Predict)
模型就是用来预测的，预测的目的是为了更好的决策
控制(Control)
控制即决策，根据预测来作出决策。
MPC利用一个已有的模型、系统当前的状态和未来的控制量，来预测系统未来的输出，然后与我们期望的系统输出做比较，得到一个损失函数（代价函数），即：
损失函数=(未来输出(模型，当前状态，未来控制量)−期望输出)2损失函数 = (未来输出(模型，当前状态，未来控制量)-期望输出)^2损失函数=(未来输出(模型，当前状态，未来控制量)−期望输出)2
由于上式中模型、当前状态、期望输出都是已知的，因此只有未来控制量一个自变量。采用二次规划的方法求解出某个未来控制量，使得损失函数最小，前面提到，这个未来控制量的第一个元素就是当前控制周期的控制量。
1.1 MPC vs optimal control最优控制（optimal control）指的是在一定的约束情况下达到最优状态的系统表现，其中约束情况通常是实际环境所带来的限制，例如汽车中的油门不能无限大等。
最优控制强调的是“最优”，一般最优控制需要在整个时间域上进行求优化(从0时刻到正无穷时刻的积分)，这样才能保证最优性，这是一种很贪婪的行为，需要消耗大量算力。同时，系统如果是一个时变系统，或者面临扰动的话，前一时刻得到的最优并不一定是下一时刻的最优值。
J=∫∞ETQE+UTRUdtJ=\int_{0}^{\infty} E^{T} Q E+U^{T} R U d tJ=∫0∞ETQE+UTRUdt
最优控制常用解法有： 变分法，极大值原理，动态规划，LQR（LQR可以参考博客）。
MPC仅考虑未来几个时间步，一定程度上牺牲了最优性。
1.2 MPC优点MPC善于处理多输入多输出系统（MIMO）；
MPC可以处理约束，如安全性约束，上下阈值；
MPC是一种向前考虑未来时间步的有限时域优化方法（一定的预测能力）
最优控制要求在整个时间优化
实际上MPC采用了一个折中的策略，既不是像最优控制那样考虑整个时域，也不是仅仅考虑当前，而是考虑未来的有限时间域。
2. MPC整体流程2.1 预测区间与控制区间对于一般的离散化系统（因为实际计算机实现的控制系统都是离散的系统，连续系统可以进行离散化操作），在k时刻，我们可以测量出系统的当前状态y(k)y(k)y(k)，再通过计算得到的u(k),u(k+1),u(k+2)...u(k+j)u(k),u(k+1),u(k+2)...u(k+j)u(k),u(k+1),u(k+2)...u(k+j)得到系统未来状态的估计值y(k+1),y(k+2)...y(k+j)y(k+1),y(k+2)...y(k+j)y(k+1),y(k+2)...y(k+j)；
将预测状态估计的部分称为预测区间（Predictive Horizon）,指的是一次优化后预测未来输出的时间步的个数。
将控制估计的部分称为控制区间（Control Horizon），在得到最优输入之后，我们只施加当前时刻的输入u(k)，即控制区间的第一位控制输入。
如下图 [k,k+m][k, k+m][k,k+m]范围为控制区间，之后的红色部分称为 held constant，其中控制区间是要通过优化器来进行优化的参数。
过小的控制区间，可能无法做到较好的控制，而较大的控制区间，比如与预测区间相等，则会导致只有前一部分的控制范围才会有较好的效果，而后一部分的控制范围则收效甚微，而且将带来大量的计算开销。
2.2 约束对于约束，一般分为Hard约束和Soft约束，Hard约束是不可违背必须遵守的，在控制系统中，输入输出都可能会有约束限制，但是在设计时不建议将输入输出都给予Hard约束，因为这两部的约束有可能是有重叠的，导致优化器会产生不可行解。
Hard约束不能违反，Soft约束可以；比如Hard约束是刹车踩的幅度；Soft约束是速度
建议输出采用Soft约束，而输入的话建议输入和输入参数变化率二者之间不要同时为Hard约束，可以一个Hard一个Soft。
2.3 MPC流程模型预测控制在k时刻共需三步；
第一步：获取系统的当前状态；
第二步：基于u(k),u(k+1),u(k+2)...u(k+m)u(k),u(k+1),u(k+2)...u(k+m)u(k),u(k+1),u(k+2)...u(k+m)进行最优化处理；
离散系统的代价函数可以参考
J=∑km−1EkTQEk+ukTRuk+ENTFENJ=\sum_{k}^{m-1}E_k^TQE_k+u_k^TRu_k+E_N^TFE_NJ=k∑m−1EkTQEk+ukTRuk+ENTFEN
其中ENE_NEN表示误差的终值，也是衡量优劣的一种标准。
第三步：只取u(k)u(k)u(k)作为控制输入施加在系统上。
在下一时刻重复以上三步，在下一步进行预测时使用的就是下一步的状态值，我们将这样的方案称为滚动优化控制（Receding Horizon Control）。
预测控制的优化不是一次离线进行，而是随着采样时刻的前进反复地在线进行，故称为滚动优化。这种滚动优化虽然得不到理想的全局最优解，但是反复对每一采样时刻的偏差进行优化计算，将可及时地校正控制过程中出现的各种复杂情况。
2.4 MPC vs. LQR从以下几个方面进行阐述：
研究对象：是否线性化状态方程：是否离散化目标函数：误差和控制量的极小值工作时域：预测时域，控制时域，滚动优化，求解一次求解方法：QP求解器，变分法求解黎卡提方程LQR和MPC的优缺点：滚动优化，求解时域，实时性，算力，工程常用方法具体可参考博客
3. MPC设计当模型是线性的时候（非线性系统可以线性化），MPC的设计求解一般使用二次规划方法。
设线性模型为以下形式： xk+1=Axk+Buk+C(1)x_{k+1}=Ax_k+Bu_k+C \tag{1}xk+1=Axk+Buk+C(1)
假定未来 mmm步的控制输入已知，为 uk,uk+1,uk+2,...,uk+mu_k, u_{k+1}, u_{k+2}, ..., u_{k+m}uk,uk+1,uk+2,...,uk+m，根据以上模型与输入，我们可以计算未来 mmm步的状态：
xk+1=Axk+Buk+Cxk+2=Axk+1+Buk+1+C=A(Axk+Buk+C)+Buk+1+C=A2xk+ABuk+Buk+1+AC+Cxk+3=A3xk+A2Buk+ABk+1+Buk+2+A2C+AC+C...xk+m=Amxk+Am−1Buk+Am−2Buk+1+...+Am−iBuk+i−1+...+Buk+m−1+Am−1C+Am−2C+...+C\begin{aligned} x_{k+1}&=Ax_k+Bu_k+C \\ x_{k+2}&=Ax_{k+1}+Bu_{k+1}+C=A(Ax_k+Bu_k+C)+Bu_{k+1}+C=A^2x_{k}+ABu_k+Bu_{k+1}+AC+C \\ x_{k+3}&=A^3x_k+A^2Bu_{k}+AB_{k+1}+Bu_{k+2}+A^2C+AC+C\\ ...\\ x_{k+m}&=A^{m}x_{k}+A^{m-1}Bu_k+A^{m-2}Bu_{k+1}+...+A^{m-i}Bu_{k+i-1}+...+Bu_{k+m-1}+A^{m-1}C+A^{m-2}C+...+C \end{aligned}xk+1xk+2xk+3...xk+m=Axk+Buk+C=Axk+1+Buk+1+C=A(Axk+Buk+C)+Buk+1+C=A2xk+ABuk+Buk+1+AC+C=A3xk+A2Buk+ABk+1+Buk+2+A2C+AC+C=Amxk+Am−1Buk+Am−2Buk+1+...+Am−iBuk+i−1+...+Buk+m−1+Am−1C+Am−2C+...+C
将上面mmm步写成矩阵向量形式：
X=Axk+Bu+C(2)\mathcal{X}=\mathcal{A}x_k+\mathcal{B}\mathbf{u}+\mathcal{C} \tag{2}X=Axk+Bu+C(2)
其中， X=[xk+1,xk+2,xk+3,...xk+m]T\mathcal{X}=\left[x_{k+1}, x_{k+2}, x_{k+3},...x_{k+m}\right]^TX=[xk+1,xk+2,xk+3,...xk+m]T u=[uk,uk+1,uk+2,...,uk+m−1]T\mathbf{u}=\left[u_k,u_{k+1},u_{k+2},...,u_{k+m-1}\right]^Tu=[uk,uk+1,uk+2,...,uk+m−1]T A=[A,A2,A3,...,Am]T\mathcal{A}=\left[A, A^2 ,A^3 ,... ,A^m\right]^TA=[A,A2,A3,...,Am]T
B=(...B...ABB...............Am−1BAm−2B...B)\mathcal{B}=\begin{pmatrix}0&0&...&0\\ B&0&...&0\\ AB&B&...&0\\ ...&...&...&...\\ A^{m-1}B&A^{m-2}B&...&B\end{pmatrix}B=⎝⎛0BAB...Am−1B00B...Am−2B...............000...B⎠⎞
C=[CAC+CA2C+AC+C…Ak+m−1C+…+C]\mathcal{C}=\left[\begin{array}{c} C \\ A C+C \\ A^{2} C+A C+C \\ \ldots \\ A^{k+m-1} C+\ldots+C \end{array}\right]C=⎣⎡CAC+CA2C+AC+C…Ak+m−1C+…+C⎦⎤
上式B\mathcal{B}B中的下三角形式，直接反映了系统在时间上的因果关系，即k+1k+1k+1时刻的输入对kkk 时刻的输出没有影响， k+2k+2k+2 时刻的输入对 kkk 和 k+1k+1k+1 时刻没有影响。
假定参考轨迹为 X‾=[xˉk+1xˉk+2xˉk+3…xˉk+m]T\overline{\mathcal{X}}=\left[\begin{array}{lllll}\bar{x}_{k+1} & \bar{x}_{k+2} & \bar{x}_{k+3} & \ldots & \bar{x}_{k+m}\end{array}\right]^{T}X=[xˉk+1xˉk+2xˉk+3…xˉk+m]T,则MPC的一个简单的目标代价函数如下： minJ=ETQE+uTRus.t. umin≤u≤umax(3)\min \mathcal{J}=\mathcal{E}^T Q \mathcal{E}+\mathbf{u}^T R \mathbf{u} \\ \text{s.t. } u_{min}\leq \mathbf{u}\leq u_{max} \tag{3}minJ=ETQE+uTRus.t. umin≤u≤umax(3)
其中， E=X−X‾=[xk+1−xˉk+1xk+2−xˉk+2…xk+m−xˉk+m]T\mathcal{E}=\mathcal{X}-\overline{\mathcal{X}}=\left[\begin{array}{llll}x_{k+1}-\bar{x}_{k+1} & x_{k+2}-\bar{x}_{k+2} & \ldots & x_{k+m}-\bar{x}_{k+m}\end{array}\right]^{T}E=X−X=[xk+1−xˉk+1xk+2−xˉk+2…xk+m−xˉk+m]T
uTRu\mathbf{u}^T R \mathbf{u}uTRu这一项是为了让控制输入不会太大，因此代价函数中添加了一项对控制量的约束。
将式(2)代入式(3)，则优化变量仅剩 u\mathbf{u}u。以上最优化问题可用二次规划方法求解，得到满足目标代价函数的最优控制序列 u={uk,uk+1,uk+2...uk+m−1}\mathbf{u}=\left\{u_k,u_{k+1},u_{k+2}...u_{k+m−1}\right\}u={uk,uk+1,uk+2...uk+m−1}。
当转换成式（3）后，可以利用凸优化库进行二次规划求解，例如python的cvxopt，OSQP: An Operator Splitting Solver for Quadratic Programs，Casdi等。
4. MPC应用——无人车轨迹跟踪4.1 MPC建模设车辆的状态量偏差和控制量偏差如式 ( 4 ) 所示： x~=[x˙−x˙ry˙−y˙rφ˙−φ˙r],u~=[v−vrδ−δr](4)\tag{4} \tilde{\boldsymbol{x}}=\left[\begin{array}{c} \dot{x}-\dot{x}_{r} \\ \dot{y}-\dot{y}_{r} \\ \dot{\varphi}-\dot{\varphi}_{r} \end{array}\right], \tilde{\boldsymbol{u}}=\left[\begin{array}{c} v-v_{r} \\ \delta-\delta_{r} \end{array}\right]x~=⎣⎡x˙−x˙ry˙−y˙rφ˙−φ˙r⎦⎤,u~=[v−vrδ−δr](4) 基于先前的运动学模型的离散状态空间方程如下， x~(k+1)=[1−Tvrsinφr1Tvrcosφr1]x~(k)+[TcosφrTsinφrTtanδrlTvrlcos2δr]u~(k)=Ax~(k)+Bu~(k)(5)\tag{5} \tilde{\boldsymbol{x}}(k+1)=\left[\begin{array}{ccc} 1 & 0 & -T v_{r} \sin \varphi_{r} \\ 0 & 1 & T v_{r} \cos \varphi_{r} \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right] \tilde{\boldsymbol{x}}(k)+\left[\begin{array}{cc} T \cos \varphi_{r} & 0 \\ T \sin \varphi_{r} & 0 \\ T \frac{\tan \delta_{r}}{l} & T \frac{v_{r}}{l \cos ^{2} \delta_{r}} \end{array}\right] \tilde{\boldsymbol{u}}(k)=\boldsymbol{A} \tilde{\boldsymbol{x}}(k)+\boldsymbol{B} \tilde{\boldsymbol{u}}(k)x~(k+1)=⎣⎡100010−TvrsinφrTvrcosφr1⎦⎤x~(k)+⎣⎡TcosφrTsinφrTltanδr00Tlcos2δrvr⎦⎤u~(k)=Ax~(k)+Bu~(k)(5)
为了表示控制系统达到稳定控制所付出的代价，MPC控制的代价函数定义如下： minJ(U)=∑k=N−1(x~(k)TQx~(k)+u~(k)TRu~(k))+x~(N)TQfx~(N)(6)\tag{6} \min J(\boldsymbol{U})=\sum_{k=0}^{N-1}\left(\tilde{\boldsymbol{x}}(k)^{T} Q \tilde{\boldsymbol{x}}(k)+\tilde{\boldsymbol{u}}(k)^{T} R \tilde{\boldsymbol{u}}(k)\right)+\tilde{\boldsymbol{x}}(N)^{T} Q_{f} \tilde{\boldsymbol{x}}(N)minJ(U)=k=0∑N−1(x~(k)TQx~(k)+u~(k)TRu~(k))+x~(N)TQfx~(N)(6) 其中函数参数 U=(u,u1,…,uN)U=\left(u_{0}, u_{1}, \ldots, u_{N}\right)U=(u0,u1,…,uN) ，并且矩阵 Q,Qf,RQ, Q_{f}, RQ,Qf,R 为正定矩阵，即 Q=QT≥,Qf=QfT≥,R=RT>Q=Q^{T} \geq 0, \quad Q_{f}=Q_{f}^{T} \geq 0, \quad R=R^{T}>0Q=QT≥0,Qf=QfT≥0,R=RT>0
QQ_(f)R给定状态代价矩阵最终状态代价矩阵输入代价矩阵NNN : 时间范围(Time Horizon)Q，RQ ， RQ，R : 分别设定状态偏差和输入的相对权重R>R>0R>0 : 意味着任何非零输入都增加 JJJ 的代价x~(k)TQx~(k)\tilde{\boldsymbol{x}}(k)^{T} Q \tilde{\boldsymbol{x}}(k)x~(k)TQx~(k) : 衡量状态偏差u~(k)TRu~(k)\tilde{\boldsymbol{u}}(k)^{T} R \tilde{\boldsymbol{u}}(k)u~(k)TRu~(k) : 衡量输入大小x~(N)TQfx~(N)\tilde{\boldsymbol{x}}(N)^{T} Q_{f} \tilde{\boldsymbol{x}}(N)x~(N)TQfx~(N) : 衡量最终状态偏差对于公式(6)，它需要服从的约束条件包括 {运动学模型约束——x~(k+1)=Ax~(k)+Bu~(k)控制量约束——∣u~(k)∣≤u~max初始状态——x~()=x~(7)\tag{7} \left\{ \begin{aligned} &\text{运动学模型约束——}&\tilde{\boldsymbol{x}}(k+1)=\boldsymbol{A} \tilde{\boldsymbol{x}}(k)+\boldsymbol{B} \tilde{\boldsymbol{u}}(k)\\ &\text{控制量约束——}&\left|\tilde{\boldsymbol{u}}(k)\right| \leq \tilde{\boldsymbol{u}}_{max}\\ &\text{初始状态——}&\tilde{\boldsymbol{x}}(0)=\tilde{\boldsymbol{x}}_0 \end{aligned} \right.⎩⎨⎧运动学模型约束——控制量约束——初始状态——x~(k+1)=Ax~(k)+Bu~(k)∣u~(k)∣≤u~maxx~(0)=x~0(7)
4.2 python代码实现完整程序见GitHub仓库
4.2.1 参数# mpc parametersNX = 3 # x = x, y, yawNU = 2 # u = [v,delta]T = 8 # horizon lengthR = np.diag([0.1, 0.1]) # input cost matrixRd = np.diag([0.1, 0.1]) # input difference cost matrixQ = np.diag([1, 1, 1]) # state cost matrixQf = Q # state final matrix#车辆dt=0.1 # 时间间隔，单位：sL=2 # 车辆轴距，单位：mv = 2 # 初始速度x_0=0 # 初始xy_0=-3 #初始ypsi_0=0 # 初始航向角MAX_STEER = np.deg2rad(45.0) # maximum steering angle [rad]MAX_DSTEER = np.deg2rad(45.0) # maximum steering speed [rad/s]MAX_VEL = 2.0 # maximum accel [m/s]4.2.2 运动学模型import mathclass KinematicModel_3: """假设控制量为转向角delta_f和加速度a """ def __init__(self, x, y, psi, v, L, dt): self.x = x self.y = y self.psi = psi self.v = v self.L = L # 实现是离散的模型 self.dt = dt def update_state(self, a, delta_f): self.x = self.x+self.v*math.cos(self.psi)*self.dt self.y = self.y+self.v*math.sin(self.psi)*self.dt self.psi = self.psi+self.v/self.L*math.tan(delta_f)*self.dt self.v = self.v+a*self.dt def get_state(self): return self.x, self.y, self.psi, self.v def state_space(self, ref_delta, ref_yaw): """将模型离散化后的状态空间表达 Args: ref_delta (_type_): 参考的转角控制量 ref_yaw (_type_): 参考的偏航角 Returns: _type_: _description_ """ A = np.matrix([ [1.0, 0.0, -self.v*self.dt*math.sin(ref_yaw)], [0.0, 1.0, self.v*self.dt*math.cos(ref_yaw)], [0.0, 0.0, 1.0]]) B = np.matrix([ [self.dt*math.cos(ref_yaw), 0], [self.dt*math.sin(ref_yaw), 0], [self.dt*math.tan(ref_delta)/self.L, self.v*self.dt /(self.L*math.cos(ref_delta)*math.cos(ref_delta))] ]) C = np.eye(3) return A, B, C4.2.3 参考轨迹class MyReferencePath: def __init__(self): # set reference trajectory # refer_path包括4维：位置x, 位置y， 轨迹点的切线方向, 曲率k self.refer_path = np.zeros((1000, 4)) self.refer_path[:,0] = np.linspace(0, 100, 1000) # x self.refer_path[:,1] = 2*np.sin(self.refer_path[:,0]/3.0)+2.5*np.cos(self.refer_path[:,0]/2.0) # y # 使用差分的方式计算路径点的一阶导和二阶导，从而得到切线方向和曲率 for i in range(len(self.refer_path)): if i == 0: dx = self.refer_path[i+1,0] - self.refer_path[i,0] dy = self.refer_path[i+1,1] - self.refer_path[i,1] ddx = self.refer_path[2,0] + self.refer_path[0,0] - 2*self.refer_path[1,0] ddy = self.refer_path[2,1] + self.refer_path[0,1] - 2*self.refer_path[1,1] elif i == (len(self.refer_path)-1): dx = self.refer_path[i,0] - self.refer_path[i-1,0] dy = self.refer_path[i,1] - self.refer_path[i-1,1] ddx = self.refer_path[i,0] + self.refer_path[i-2,0] - 2*self.refer_path[i-1,0] ddy = self.refer_path[i,1] + self.refer_path[i-2,1] - 2*self.refer_path[i-1,1] else: dx = self.refer_path[i+1,0] - self.refer_path[i,0] dy = self.refer_path[i+1,1] - self.refer_path[i,1] ddx = self.refer_path[i+1,0] + self.refer_path[i-1,0] - 2*self.refer_path[i,0] ddy = self.refer_path[i+1,1] + self.refer_path[i-1,1] - 2*self.refer_path[i,1] self.refer_path[i,2]=math.atan2(dy,dx) # yaw # 计算曲率:设曲线r(t) =(x(t),y(t)),则曲率k=(x'y" - x"y')/((x')^2 + (y')^2)^(3/2). # 参考：https://blog.csdn.net/weixin_46627433/article/details/123403726 self.refer_path[i,3]=(ddy * dx - ddx * dy) / ((dx ** 2 + dy ** 2)**(3 / 2)) # 曲率k计算 def calc_track_error(self, x, y): """计算跟踪误差 Args: x (_type_): 当前车辆的位置x y (_type_): 当前车辆的位置y Returns: _type_: _description_ """ # 寻找参考轨迹最近目标点 d_x = [self.refer_path[i,0]-x for i in range(len(self.refer_path))] d_y = [self.refer_path[i,1]-y for i in range(len(self.refer_path))] d = [np.sqrt(d_x[i]**2+d_y[i]**2) for i in range(len(d_x))] s = np.argmin(d) # 最近目标点索引 yaw = self.refer_path[s, 2] k = self.refer_path[s, 3] angle = normalize_angle(yaw - math.atan2(d_y[s], d_x[s])) e = d[s] # 误差 if angle < 0: e *= -1 return e, k, yaw, s def calc_ref_trajectory(self, robot_state, dl=1.0): """计算参考轨迹点，统一化变量数组，便于后面MPC优化使用 参考自https://github.com/AtsushiSakai/PythonRobotics/blob/eb6d1cbe6fc90c7be9210bf153b3a04f177cc138/PathTracking/model_predictive_speed_and_steer_control/model_predictive_speed_and_steer_control.py Args: robot_state (_type_): 车辆的状态(x,y,yaw,v) dl (float, optional): _description_. Defaults to 1.0. Returns: _type_: _description_ """ e, k, ref_yaw, ind = self.calc_track_error(robot_state[0], robot_state[1]) xref = np.zeros((NX, T + 1)) dref = np.zeros((NU, T)) # 参考控制量 ncourse = len(self.refer_path) xref[0, 0] = self.refer_path[ind,0] xref[1, 0] = self.refer_path[ind, 1] xref[2, 0] = self.refer_path[ind, 2] # 参考控制量[v,delta] ref_delta = math.atan2(L*k, 1) dref[0, :] = robot_state[3] dref[1, :] = ref_delta travel = 0.0 for i in range(T + 1): travel += abs(robot_state[3]) * dt dind = int(round(travel / dl)) if (ind + dind) < ncourse: xref[0, i] = self.refer_path[ind + dind,0] xref[1, i] = self.refer_path[ind + dind,1] xref[2, i] = self.refer_path[ind + dind,2] else: xref[0, i] = self.refer_path[ncourse - 1,0] xref[1, i] = self.refer_path[ncourse - 1,1] xref[2, i] = self.refer_path[ncourse - 1,2] return xref, ind, dref4.2.4 矩阵拍平def get_nparray_from_matrix(x): return np.array(x).flatten()4.2.5 角度归一化到[-pi，pi]def normalize_angle(angle): """ Normalize an angle to [-pi, pi]. :param angle: (float) :return: (float) Angle in radian in [-pi, pi] copied from https://atsushisakai.github.io/PythonRobotics/modules/path_tracking/stanley_control/stanley_control.html """ while angle > np.pi: angle -= 2.0 * np.pi while angle < -np.pi: angle += 2.0 * np.pi return angle4.2.6 MPC控制实现def linear_mpc_control(xref, x0, delta_ref,ugv): """ linear mpc control xref: reference point x0: initial state delta_ref: reference steer angle ugv:车辆对象 """ x = cvxpy.Variable((NX, T + 1)) u = cvxpy.Variable((NU, T)) cost = 0.0 # 代价函数 constraints = [] # 约束条件 for t in range(T): cost += cvxpy.quad_form(u[:, t]-delta_ref[:,t], R) if t != 0: cost += cvxpy.quad_form(x[:, t] - xref[:, t], Q) A, B, C = ugv.state_space(delta_ref[1,t], xref[2,t]) constraints += [x[:, t + 1]-xref[:, t+1] == A @ (x[:, t]-xref[:, t]) + B @ (u[:, t]-delta_ref[:,t]) ] cost += cvxpy.quad_form(x[:, T] - xref[:, T], Qf) constraints += [(x[:, 0]) == x0] constraints += [cvxpy.abs(u[0, :]) <= MAX_VEL] constraints += [cvxpy.abs(u[1, :]) <= MAX_STEER] prob = cvxpy.Problem(cvxpy.Minimize(cost), constraints) prob.solve(solver=cvxpy.ECOS, verbose=False) if prob.status == cvxpy.OPTIMAL or prob.status == cvxpy.OPTIMAL_INACCURATE: opt_x = get_nparray_from_matrix(x.value[0, :]) opt_y = get_nparray_from_matrix(x.value[1, :]) opt_yaw = get_nparray_from_matrix(x.value[2, :]) opt_v = get_nparray_from_matrix(u.value[0, :]) opt_delta = get_nparray_from_matrix(u.value[1, :]) else: print("Error: Cannot solve mpc..") opt_v, opt_delta, opt_x, opt_y, opt_yaw = None, None, None, None, None, return opt_v, opt_delta, opt_x, opt_y, opt_yaw4.2.7 主函数from celluloid import Camera # 保存动图时用，pip install celluloid# 使用随便生成的轨迹def main(): reference_path = MyReferencePath() goal = reference_path.refer_path[-1,0:2] # 运动学模型 ugv = KinematicModel_3(x_0, y_0, psi_0, v, L, dt) x_ = [] y_ = [] fig = plt.figure(1) # 保存动图用 camera = Camera(fig) # plt.ylim([-3,3]) for i in range(500): robot_state = np.zeros(4) robot_state[0] = ugv.x robot_state[1] = ugv.y robot_state[2]=ugv.psi robot_state[3]=ugv.v x0 = robot_state[0:3] xref, target_ind, dref = reference_path.calc_ref_trajectory(robot_state) opt_v, opt_delta, opt_x, opt_y, opt_yaw = linear_mpc_control(xref, x0, dref, ugv) ugv.update_state(0, opt_delta[0]) # 加速度设为0，恒速 x_.append(ugv.x) y_.append(ugv.y) # 显示动图 plt.cla() plt.plot(reference_path.refer_path[:,0], reference_path.refer_path[:,1], "-.b", linewidth=1.0, label="course") plt.plot(x_, y_, "-r", label="trajectory") plt.plot(reference_path.refer_path[target_ind,0], reference_path.refer_path[target_ind,1], "go", label="target") # plt.axis("equal") plt.grid(True) plt.pause(0.001) # camera.snap() # 判断是否到达最后一个点 if np.linalg.norm(robot_state[0:2]-goal)<=0.1: print("reach goal") break # animation = camera.animate() # animation.save('trajectory.gif')if __name__=='__main__': main()跟踪效果如下：
（跟踪效果不是很好，我并没有进一步调整，就先这样吧···。）
5. MPC开源库/程序do-mpcmpc.pytorch下一篇：UE4从零开始制作数字孪生道路监测平台(ue4ui界面制作)
