动态规划篇——背包问题(动态规划知乎)

动态规划篇——背包问题 本次我们介绍动态规划篇的背包问题，我们会从下面几个角度来介绍： 背包问题概述 零一背包问题 完全背包问题 多重背包问题 分组背包问题 背包问题概述 背包问题算是很经典的动态规划问题，我们在面试中也经常出现 首先我们给出动态规划的思想： 然后我们简单介绍一下背包问题： /*背包 ... 动态规划篇——背包问题

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本次我们介绍动态规划篇的背包问题，我们会从下面几个角度来介绍：

背包问题概述零一背包问题完全背包问题多重背包问题分组背包问题背包问题概述

背包问题算是很经典的动态规划问题，我们在面试中也经常出现

首先我们给出动态规划的思想：

然后我们简单介绍一下背包问题：

/*背包问题*/有 N 件物品和一个容量是 V 的背包。第 i 件物品的体积是 vi，价值是 wi。求解将哪些物品装入背包，可使这些物品的总体积不超过背包容量，且总价值最大，输出最大价值。/*输入格式*/第一行两个整数，N，V，用空格隔开，分别表示物品数量和背包容积。接下来有 N 行，每行两个整数 vi,wi，用空格隔开，分别表示第 i 件物品的体积和价值。/*输出格式*/输出一个整数，表示最大价值。

最后我们介绍我们下列将要讲述了背包问题的前提：

/*01背包问题*/每件物品只能使用一次/*完全背包问题*/每件物品无次数限制使用/*多重背包问题*/每件物品有不同的使用次数/*分组背包问题*/每组物品有若干个，同一组内的物品最多只能选一个零一背包问题

我们首先介绍一下01背包规则：

/*背包问题*/有 N 件物品和一个容量是 V 的背包。第 i 件物品的体积是 vi，价值是 wi。求解将哪些物品装入背包，可使这些物品的总体积不超过背包容量，且总价值最大，输出最大价值。/*输入格式*/第一行两个整数，N，V，用空格隔开，分别表示物品数量和背包容积。接下来有 N 行，每行两个整数 vi,wi，用空格隔开，分别表示第 i 件物品的体积和价值。/*输出格式*/输出一个整数，表示最大价值。/*限制条件*/每件物品只能使用一次

然后我们对其进行分析：

/*内容分析*/首先我们有 N 件物品，总容量为 V如果我们想要求得最大 W 的情况，我们就需要计算所有的 N 和 V 情况/*暴力求解方法分析*/我们这里首先采用最暴力的方法（二维）：我们采用f[i][j]来表示前i件物品中进行选择，其体积不超过j，储存值为W最优解我们会发现，f[i][j]无非就两种情况： 在i比前一位增加一位后，如果我们当前的i没有包含最后一位，那么一切都和上一位i的结果相同（f[i][j] = f[i-1][j]） 那么我们就只需要判断是否需要加上第i位，且前提是j >= v[i]（f[i][j] = max(f[i][j],f[i-1][j-v[i]]+w[i])）/*优化方法分析*/下面我们介绍的优化方法来自于滚动数组： 滚动数组是指当我们只需要两行数据时，我们可以抛出二维的概念，采用层级差来覆盖掉之前的数据信息，从而转换为一维我们对上述暴力求解进行分析： 我们会发现其实我们所采用的无非只有两行：f[i]和f[i-1] 那么我们只需要将f[i]所使用的f[i-1]的信息在使用前保留下来，我们就可以将其简化为一行,也就是一维

我们给出实际代码以及代码中的解析：

/*暴力求解方法*/import java.util.Scanner;public class Packsack01 { final static int N = 1010; static int n,m; // 存放f[][],v[],w[] static int[][] f = new int[N][N]; static int[] v = new int[N]; static int[] w = new int[N]; public static void main(String[] args) { Scanner scanner = new Scanner(System.in); n = scanner.nextInt(); m = scanner.nextInt(); // 首先我们应该初始化f[][]，但是由于需要初始化为0，数组默认为0，所以我们不需要书写 // 然后我们放入v，w for (int i = 1; i <= n; i++) { v[i] = scanner.nextInt(); w[i] = scanner.nextInt(); } // 然后我们就可以逐层更新(第0层为前0个物品，肯定都是0，不用更新) for (int i = 1; i <= n; i++) { // 我们对前i个物品的体积v也进行递增 for (int j = 0; j <= m; j++) { // 如果我们不加入最后一个数，那么当前i层的值和i-1层的值相同 f[i][j] = f[i-1][j]; // 注意：由于加入第i个数不一定是最优解，所以我们需要进行w权重比较 // 我们比较的数据分别是上一层的不加i的w // 注意这里由于上面f[i][j] = f[i-1][j]，所以下面的f[i][j]实际上是上一层的f[i-1][j] // 以及我们该层加上i之后的w，我们加上i之后v就需要去掉v[i] // 同时我们选取前i-1个数的v为j-[v[i]]的w最优解加上w[i]来进行比较 if (j >= v[i]) f[i][j] = Math.max(f[i][j],f[i-1][j-v[i]]+w[i]); } } // 最后输出即可 System.out.println(f[n][m]); }}/*优化求解方法*/import java.util.Scanner;public class Packsack01 { final static int N = 1010; static int n,m; // 存放f[],v[],w[] static int[] f = new int[N]; static int[] v = new int[N]; static int[] w = new int[N]; // 建议和暴力求解对比观看 public static void main(String[] args) { Scanner scanner = new Scanner(System.in); n = scanner.nextInt(); m = scanner.nextInt(); // 首先我们应该初始化f[]，但f[0]最开始都是0，就不需要初始化了 // 然后我们放入v，w for (int i = 1; i <= n; i++) { v[i] = scanner.nextInt(); w[i] = scanner.nextInt(); } // 然后我们就可以逐层更新 for (int i = 1; i <= n; i++) { // 我们对前i个物品的体积v也进行递增 // 注意：由于下面判断条件需要保证j>=v[i]，所以我们这里可以直接从v[i]开始，毕竟前面的条件都不满足 // 注意：我们这里需要倒叙书写， 因为我们下面要使用f[i-1][j-v[i]]这里的i-1就是上一层，我们需要注意我们不能覆盖掉这一层！！！ for (int j = m; j >= v[i]; j--) { // 这里简化i之后，为f[j] = f[j]，恒等式，我们就直接省略了 // 注意：由于加入第i个数不一定是最优解，所以我们需要进行w权重比较 // 我们比较的数据分别是上一个不加i的w // 以及我们该层加上i之后的w，我们加上i之后v就需要去掉v[i] // 同时我们选取前i-1个数的v为j-[v[i]]的最优解来进行比较，记得加上w[i] // 这里我们需要注意，我们后面比较的值是上一层的f // 所以我们前面的for循环的方向需要转换一下，防止上一层的数据被覆盖掉 f[j] = Math.max(f[j],f[j-v[i]]+w[i]); } } // 最后输出即可 System.out.println(f[m]); }}完全背包问题

我们首先介绍一下完全背包规则：

/*背包问题*/有 N 件物品和一个容量是 V 的背包。第 i 件物品的体积是 vi，价值是 wi。求解将哪些物品装入背包，可使这些物品的总体积不超过背包容量，且总价值最大，输出最大价值。/*输入格式*/第一行两个整数，N，V，用空格隔开，分别表示物品数量和背包容积。接下来有 N 行，每行两个整数 vi,wi，用空格隔开，分别表示第 i 件物品的体积和价值。/*输出格式*/输出一个整数，表示最大价值。/*限制条件*/每件物品没有使用次数限制

然后我们对其进行分析：

/*内容分析*/首先我们有 N 件物品，总容量为 V如果我们想要求得最大 W 的情况，我们就需要计算所有的 N 和 V 情况/*暴力求解方法分析*/我们首先介绍暴力求解方法：我们其实所有步骤和01背包的步骤相似，但不同的是对于第i个物品的数量的大小的决定我们在不能承载第i个物品前：f[i][j] = f[i-1][j]在我们能承载第i个物品后：f[i][j] = Math.max(f[i-1][j],f[i-1][j - k*v[i]] + k * w[i])所以我们只需要在01背包基础上加上一个fork循环来控制第i个物品的数量保证最优解即可/*优化方法1分析*/我们在上述暴力求解中直接采用了fork循环，这时我们的时间复杂度在 O(n^3)，所以我们想要减少时间复杂度我们可以发现，我们上述承载第i个物品后：f[i][j] = Math.max(f[i-1][j],f[i-1][j - k*v[i]] + k * w[i])那么相当于：f[i][j] = Math.max(f[i-1][j],f[i-1][j-v[i]]+w[i]，f[i-1][j-2*v[i]]+2*w[i],...)相当于我们直接在上一个f[i][j]的基础上判断是否能够添加i物品，也就是：f[i][j] = Math.max(f[i][j],f[i][j-v[i]]+w[i])/*优化方法2分析*/最后一重优化其实就是01背包的优化，我们转化为滚动数组即可 下面我们介绍的优化方法来自于滚动数组： 滚动数组是指当我们只需要两行数据时，我们可以抛出二维的概念，采用层级差来覆盖掉之前的数据信息，从而转换为一维我们对上述暴力求解进行分析： 我们会发现其实我们所采用的无非只有两行：f[i]和f[i-1] 那么我们只需要将f[i]所使用的f[i-1]的信息在使用前保留下来，我们就可以将其简化为一行,也就是一维

我们给出实际代码以及代码中的解析：

/*暴力求解算法*/import java.util.Scanner;public class PacksackFull { final static int N = 1010; static int n,m; static int[][] f = new int[N][N]; static int[] v = new int[N]; static int[] w = new int[N]; public static void main(String[] args) { Scanner scanner = new Scanner(System.in); n = scanner.nextInt(); m = scanner.nextInt(); for (int i = 1; i <= n; i++) { v[i] = scanner.nextInt(); w[i] = scanner.nextInt(); } for (int i = 1; i <= n; i++) { for (int j = 0; j <= m; j++) { // 重点在这里！！！ // 我们之前的f[i][j] = f[i-1][j]也融入到下面的max判断里去了 // 我们由于需要判断第i个物品的数量，我们需要从0开始，判断应该增加几个i物品 for (int k = 0; k * v[i] <= j; k++) { f[i][j] = Math.max(f[i][j],f[i-1][j-v[i]*k]+w[i]*k); } } } System.out.println(f[n][m]); }}/*优化算法1*/import java.util.Scanner;public class PacksackFull { final static int N = 1010; static int n,m; static int[][] f = new int[N][N]; static int[] v = new int[N]; static int[] w = new int[N]; public static void main(String[] args) { Scanner scanner = new Scanner(System.in); n = scanner.nextInt(); m = scanner.nextInt(); for (int i = 1; i <= n; i++) { v[i] = scanner.nextInt(); w[i] = scanner.nextInt(); } for (int i = 1; i <= n; i++) { for (int j = 0; j <= m; j++) { // 我们为了减少一层循环，我们直接将f[i][j]与前面的f[i][j]比较即可 // 注意：记得先给当前f[i][j]赋值 f[i][j] = f[i-1][j]; // 然后我们才能进行比较，我们将f[i-1][j]与f[i]层的比较（记得判断是否可以加v[i]！） if(j >= v[i]) f[i][j] = Math.max(f[i][j],f[i][j-v[i]]+w[i]); } } System.out.println(f[n][m]); }}/*优化算法2*/import java.util.Scanner;public class PacksackFull { final static int N = 1010; static int n,m; static int[] f = new int[N]; static int[] v = new int[N]; static int[] w = new int[N]; public static void main(String[] args) { Scanner scanner = new Scanner(System.in); n = scanner.nextInt(); m = scanner.nextInt(); for (int i = 1; i <= n; i++) { v[i] = scanner.nextInt(); w[i] = scanner.nextInt(); } for (int i = 1; i <= n; i++) { // 注意：由于这次我们使用的是第i层的数据，所以我们需要从前往后遍历提前更新第i层数据，防止使用第i-1层数据 for (int j = v[i]; j <= m; j++) { if(j >= v[i]) f[j] = Math.max(f[j],f[j-v[i]]+w[i]); } } System.out.println(f[m]); }}多重背包问题

我们首先介绍一下多重背包规则：

/*背包问题*/有 N 件物品和一个容量是 V 的背包。第 i 种物品最多有 si 件，每件体积是 vi，价值是 wi。求解将哪些物品装入背包，可使这些物品的总体积不超过背包容量，且总价值最大，输出最大价值。/*输入格式*/第一行两个整数，N，V，用空格隔开，分别表示物品数量和背包容积。接下来有 N 行，每行三个整数 vi,wi,si，用空格隔开，分别表示第 i 种物品的体积、价值和数量。/*输出格式*/输出一个整数，表示最大价值。/*限制条件*/每个物品有一定的使用次数限制

然后我们对其进行分析：

/*内容分析*/首先我们有 N 件物品，总容量为 V如果我们想要求得最大 W 的情况，我们就需要计算所有的 N 和 V 情况/*暴力求解方法分析*/其实暴力求解方法和完全背包问题暴力求解方法完全相同只不过是在k的限制条件上多加了一个k < s[i]的限制而已/*优化方法分析*/我们需要注意多重背包优化由于有数量限制的原因，无法使用完全背包优化！我们因为多重背包有数量限制，当数量较少时，我们采用暴力求解是没有问题的，但是当s数量过多，高达一两千就会导致问题我们的优化思路是 通过将该物品打包分类为多个新的物品，重新定义这些物品的v和w，s固定为1 我们选择2的n次幂来打包物品，因为2的n次幂相加可以组成2的n+1次幂内的所有数！

我们给出实际代码以及代码中的解析：

/*暴力求解算法*/import java.util.Scanner;public class PacksackNumber { final static int N = 1010; static int n,m; // 多添加一个s数组存放个数 static int[][] f = new int[N][N]; static int[] v = new int[N]; static int[] w = new int[N]; static int[] s = new int[N]; public static void main(String[] args) { Scanner scanner = new Scanner(System.in); n = scanner.nextInt(); m = scanner.nextInt(); for (int i = 1; i <= n; i++) { v[i] = scanner.nextInt(); w[i] = scanner.nextInt(); s[i] = scanner.nextInt(); } for (int i = 1; i <= n; i++) { for (int j = 0; j <= m; j++) { // 重点在这里！！！ // 我们只需要多一个条件 k <= s[i]即可 for (int k = 0; k <= s[i] && k * v[i] <= j; k++) { f[i][j] = Math.max(f[i][j],f[i-1][j-v[i]*k]+w[i]*k); } } } System.out.println(f[n][m]); }}/*优化算法*/import java.util.Scanner;public class PacksackNumber { // 因为是二进制，一个数最多就是2的12次方就会超过题目给的2000，所以给个将限制范围1000*12 final static int N = 12000; static int n,m; // 这里的f采用一维即可，因为最后我们会转变为01问题，可以采用滚动数组优化 static int[] f = new int[N]; // 我们这里只需要记录v，w即可，因为我们会根据输入的数据重新更新v，w，不再存在s的概念 static int[] v = new int[N]; static int[] w = new int[N]; public static void main(String[] args) { Scanner scanner = new Scanner(System.in); n = scanner.nextInt(); m = scanner.nextInt(); // 表示定义到第几个数据 int cnt = 0; // 我们根据输入的数据重新定义v，w for (int i = 1; i <= n; i++) { // a是v，b是w，s是数量 int a = scanner.nextInt(); int b = scanner.nextInt(); int s = scanner.nextInt(); // 我们根据2的k次幂来划分s，重新分成物品 int k = 1;// 相当于2的0次幂 // 一直更新到无法存放k while ( k <= s){ // 更新数据位置 cnt++; // 将数据存入 v[cnt] = a * k; w[cnt] = b * k; // 数量减去已存放的k，并且k翻倍（2次幂） s -= k; k *= 2; } // 判断是否有剩余元素 if (s > 0){ // 若存放剩余元素，我们还需要存放 cnt ++; v[cnt] = a * s; w[cnt] = b * s; } } // 我们目前拥有cnt个新物品（被我们分解的） n = cnt; // 我们对新物品进行装载即可（01背包） for (int i = 1; i <= n; i++) { for (int j = m; j >= v[i] ; j--) { f[j] = Math.max(f[j],f[j - v[i]] + w[i]); } } System.out.println(f[m]); }}分组背包问题

我们首先介绍一下分组背包规则：

/*背包问题*/有 N 组物品和一个容量是 V 的背包。每件物品的体积是 vij，价值是 wij，其中 i 是组号，j 是组内编号。求解将哪些物品装入背包，可使物品总体积不超过背包容量，且总价值最大,输出最大价值。/*输入格式*/第一行有两个整数 N，V，用空格隔开，分别表示物品组数和背包容量。接下来有 N 组数据：每组数据第一行有一个整数 Si，表示第 i 个物品组的物品数量；每组数据接下来有 Si 行，每行有两个整数 vij,wij，用空格隔开，分别表示第 i 个物品组的第 j 个物品的体积和价值；/*输出格式*/输出一个整数，表示最大价值。/*限制条件*/每组物品有若干个，同一组内的物品最多只能选一个。

然后我们对其进行分析：

/*内容分析*/首先我们有 N 组物品，总容量为 V如果我们想要求得最大 W 的情况，我们就需要计算所有的 N组物品中每种物品使用 和 V 情况/*求解方法分析*/我们同样采用一层迭代一层的原则，但由于每组商品只能选择一次，所以我们在f[i][j]的情况下，需要与第i组的所有物品交互判断一次同样我们由于f[i]只利用f[i-1]层原理，我们可以采用滚动数组的原理来将二维数组变为一维数组

我们给出实际代码以及代码中的解析：

/*已优化算法*/import java.util.Scanner;public class Packsack01 { final static int N = 110; static int n,m; // 这里的f采用一维即可 static int[] f = new int[N]; // 我们这里使用了分组概念，需要二维数组记录信息 static int[][] v = new int[N][N]; static int[][] w = new int[N][N]; // s这里记录该组的个数 static int[] s = new int[N]; public static void main(String[] args) { Scanner scanner = new Scanner(System.in); n = scanner.nextInt(); m = scanner.nextInt(); // 对分组输入数据 for (int i = 1; i <= n; i++) { // 记录该组数量 s[i] = scanner.nextInt(); for (int j = 1; j <= s[i]; j++) { // 记录v，w v[i][j] = scanner.nextInt(); w[i][j] = scanner.nextInt(); } } // 开始遍历即可 for (int i = 1; i <= n; i++) { for (int j = m; j >= 0; j--) { for (int k = 0;k <= s[i]; k++) { if (v[i][k] <= j){ f[j] = Math.max(f[j],f[j - v[i][k]] + w[i][k]); } } } } System.out.println(f[m]); }}结束语

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